Determine se os conjuntos seguintes são abertos em R^2 : S = {(x, y) em R^2 | x < 0}.

Passo 1

Vamos analisar o conjunto . Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é aberto no espaço bidimensional . Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e aplicar esse conceito ao conjunto .

Passo 2

Um conjunto é considerado aberto em se, para cada ponto dentro dele, conseguimos desenhar um círculo pequeno ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Em outras palavras, não existem “bordas” incluídas no conjunto. Formalmente, para qualquer ponto no conjunto, existe um raio tal que todos os pontos que estão a uma distância menor que de também estão no conjunto.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso conjunto . O conjunto consiste em todos os pontos onde a coordenada é menor que zero. Geometricamente, isso representa todo o semiplano à esquerda do eixo no plano . Não incluímos os pontos onde .

Passo 4

Pegamos um ponto qualquer em , onde . Precisamos encontrar um raio tal que o círculo de raio centrado em esteja completamente dentro de . Como é negativo, podemos escolher menor que . Dessa forma, mesmo adicionando a , ainda teremos , garantindo que todo o círculo permaneça dentro de .

Passo 5

Como conseguimos, para qualquer ponto em , encontrar um círculo ao seu redor que está completamente dentro de , isso confirma que não há pontos de borda incluídos no conjunto. Portanto, atende à definição de um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto é aberto em .

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