Determine se os conjuntos seguintes são abertos em
:
.
Passo 1
Vamos analisar o conjunto
. Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é aberto no espaço bidimensional
. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e aplicar esse conceito ao conjunto
.
Passo 2
Um conjunto é considerado aberto em
se, para cada ponto dentro dele, conseguimos desenhar um círculo pequeno ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Em outras palavras, não existem “bordas” incluídas no conjunto. Formalmente, para qualquer ponto
no conjunto, existe um raio
tal que todos os pontos
que estão a uma distância menor que
de
também estão no conjunto.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso conjunto
. O conjunto
consiste em todos os pontos
onde a coordenada
é menor que zero. Geometricamente, isso representa todo o semiplano à esquerda do eixo
no plano
. Não incluímos os pontos onde
.
Passo 4
Pegamos um ponto qualquer
em
, onde
. Precisamos encontrar um raio
tal que o círculo de raio
centrado em
esteja completamente dentro de
. Como
é negativo, podemos escolher
menor que
. Dessa forma, mesmo adicionando
a
, ainda teremos
, garantindo que todo o círculo permaneça dentro de
.
Passo 5
Como conseguimos, para qualquer ponto em
, encontrar um círculo ao seu redor que está completamente dentro de
, isso confirma que não há pontos de borda incluídos no conjunto. Portanto,
atende à definição de um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.