Prove que um conjunto reduzido a um ponto tem interior não-vazio se, e somente se, o ponto é isolado. O conjunto de números racionais tem interior vazio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa provar duas coisas:
  1. Primeira parte: Um conjunto que contém apenas um ponto (ou seja, reduzido a um ponto) tem interior não vazio se e somente se esse ponto é isolado.
  2. Segunda parte: O conjunto dos números racionais Q tem interior vazio.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de topologia básica, como interior de um conjunto e ponto isolado.

Passo 2

Vamos começar explicando o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto A, denotado por , é o maior conjunto aberto que está contido em A. Em outras palavras, são todos os pontos de A que têm um entorno inteiro dentro de A.

Passo 3

Agora, o que significa um ponto isolado? Um ponto x em um conjunto A é isolado se existe uma vizinhança ao redor de x que não contém nenhum outro ponto de A além de x.

Passo 4

Vamos provar a primeira parte: Um conjunto reduzido a um ponto tem interior não vazio se, e somente se, o ponto é isolado.
Se o ponto é isolado, então podemos encontrar uma bola aberta em torno desse ponto que não contém nenhum outro ponto do conjunto. Isso significa que essa bola está totalmente contida no conjunto, então o interior do conjunto não está vazio.
Converse: Se o interior do conjunto é não vazio, então existe uma bola aberta contida no conjunto. Como o conjunto tem apenas um ponto, essa bola só pode conter esse ponto, o que significa que o ponto é isolado.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: Mostrar que o conjunto dos números racionais Q tem interior vazio.
Sabemos que entre quaisquer dois números racionais, sempre existe um número irracional, e vice-versa. Isso significa que não conseguimos encontrar uma bola aberta inteira dentro dos racionais, pois qualquer intervalo conterá irracionais também.
Portanto, não há nenhum ponto em Q que tenha uma vizinhança totalmente contida em Q. Assim, o interior de Q é vazio.

Resposta

Concluímos que:
  1. Um conjunto reduzido a um ponto tem interior não vazio se, e somente se, o ponto é isolado.
  2. O conjunto dos números racionais Q possui interior vazio.

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