Prove que um conjunto reduzido a um ponto tem interior não-vazio se, e somente se, o ponto é isolado. O conjunto de números racionais tem interior vazio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa provar duas coisas:
- Primeira parte: Um conjunto que contém apenas um ponto (ou seja, reduzido a um ponto) tem interior não vazio se e somente se esse ponto é isolado.
- Segunda parte: O conjunto dos números racionais
tem interior vazio.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de topologia básica, como interior de um conjunto e ponto isolado.
Passo 2
Vamos começar explicando o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto
, denotado por
, é o maior conjunto aberto que está contido em
. Em outras palavras, são todos os pontos de
que têm um entorno inteiro dentro de
.
Passo 3
Agora, o que significa um ponto isolado? Um ponto
em um conjunto
é isolado se existe uma vizinhança ao redor de
que não contém nenhum outro ponto de
além de
.
Passo 4
Vamos provar a primeira parte: Um conjunto reduzido a um ponto tem interior não vazio se, e somente se, o ponto é isolado.
Se o ponto é isolado, então podemos encontrar uma bola aberta em torno desse ponto que não contém nenhum outro ponto do conjunto. Isso significa que essa bola está totalmente contida no conjunto, então o interior do conjunto não está vazio.
Converse: Se o interior do conjunto é não vazio, então existe uma bola aberta contida no conjunto. Como o conjunto tem apenas um ponto, essa bola só pode conter esse ponto, o que significa que o ponto é isolado.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: Mostrar que o conjunto dos números racionais
tem interior vazio.
Sabemos que entre quaisquer dois números racionais, sempre existe um número irracional, e vice-versa. Isso significa que não conseguimos encontrar uma bola aberta inteira dentro dos racionais, pois qualquer intervalo conterá irracionais também.
Portanto, não há nenhum ponto em
que tenha uma vizinhança totalmente contida em
. Assim, o interior de
é vazio.
Resposta
Concluímos que:
- Um conjunto reduzido a um ponto tem interior não vazio se, e somente se, o ponto é isolado.
- O conjunto dos números racionais
possui interior vazio.