Considere
. Mostre que:
não é fechado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que o conjunto
não é fechado no espaço dos números reais
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um conjunto fechado e como identificar se um conjunto possui todos os seus pontos de acumulação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Em topologia, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Um ponto de acumulação é aquele que pode ser “aproximado” por outros pontos do conjunto infinitamente. Ou seja, se houver uma sequência de pontos em
que se aproxima de um certo ponto
, então
é um ponto de acumulação de
. Se todo ponto de acumulação de
estiver dentro de
, o conjunto é fechado.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Observando os elementos, percebemos que à medida que o índice aumenta, os elementos de
ficam cada vez menores, aproximando-se de 0. Vamos verificar se 0 é um ponto de acumulação de
.
Passo 4
Consideremos a sequência
para
. Conforme
cresce,
se aproxima cada vez mais de 0. Isso significa que 0 é um ponto de acumulação de
, já que podemos encontrar elementos de
arbitrariamente próximos a 0.
Passo 5
Agora, vamos verificar se 0 pertence ao conjunto
. Olhando bem, vemos que
é composto por
, mas 0 não está incluído nesse conjunto. Portanto, existe um ponto de acumulação de
que não está contido em
.
Resposta
Como existe um ponto de acumulação de
(que é 0) que não pertence a
, concluímos que
não é um conjunto fechado em
.