Considere (R, |x - y|). Mostre que: X = {1, 1/2, 1/3, ...} não é fechado

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que o conjunto não é fechado no espaço dos números reais . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um conjunto fechado e como identificar se um conjunto possui todos os seus pontos de acumulação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Em topologia, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Um ponto de acumulação é aquele que pode ser “aproximado” por outros pontos do conjunto infinitamente. Ou seja, se houver uma sequência de pontos em que se aproxima de um certo ponto , então é um ponto de acumulação de . Se todo ponto de acumulação de estiver dentro de , o conjunto é fechado.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Observando os elementos, percebemos que à medida que o índice aumenta, os elementos de ficam cada vez menores, aproximando-se de 0. Vamos verificar se 0 é um ponto de acumulação de .

Passo 4

Consideremos a sequência para . Conforme cresce, se aproxima cada vez mais de 0. Isso significa que 0 é um ponto de acumulação de , já que podemos encontrar elementos de arbitrariamente próximos a 0.

Passo 5

Agora, vamos verificar se 0 pertence ao conjunto . Olhando bem, vemos que é composto por , mas 0 não está incluído nesse conjunto. Portanto, existe um ponto de acumulação de que não está contido em .

Resposta

Como existe um ponto de acumulação de (que é 0) que não pertence a , concluímos que não é um conjunto fechado em .

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