Seja M, d um espaço métrico. Mostre que: M e são abertos;

Passo 1

Então, temos um espaço métrico M, d e precisamos mostrar que o próprio espaço M e o conjunto vazio são abertos. Isso está ligado ao conceito de conjuntos abertos na topologia de espaços métricos. Para resolver isso, vamos usar a definição de conjunto aberto em espaços métricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto é aberto se, para todo ponto x em U, existe um raio tal que a bola aberta está completamente contida em U.

Passo 3

Vamos começar mostrando que o espaço todo M é aberto. Tome qualquer ponto x in M. Precisamos encontrar uma bola aberta ao redor de x que esteja dentro de M. Mas, como M é o próprio espaço, qualquer bola aberta com estará obviamente contida em M, já que todos os pontos estão em M. Portanto, M satisfaz a definição de aberto.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que o conjunto vazio é aberto. Pela definição, para ser aberto, todo ponto de deve ter uma bola aberta ao redor dele contida em . Mas, não há pontos em , então a condição é automaticamente satisfeita. Isso é conhecido como vacuamente verdadeiro. Portanto, também é aberto.

Resposta

Dessa forma, mostramos que tanto o espaço M quanto o conjunto vazio são abertos em qualquer espaço métrico M, d.

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