Seja
um espaço métrico. Mostre que:
e
são abertos;
Passo 1
Então, temos um espaço métrico
e precisamos mostrar que o próprio espaço
e o conjunto vazio
são abertos. Isso está ligado ao conceito de conjuntos abertos na topologia de espaços métricos. Para resolver isso, vamos usar a definição de conjunto aberto em espaços métricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
em
, existe um raio
tal que a bola aberta
está completamente contida em
.
Passo 3
Vamos começar mostrando que o espaço todo
é aberto. Tome qualquer ponto
. Precisamos encontrar uma bola aberta ao redor de
que esteja dentro de
. Mas, como
é o próprio espaço, qualquer bola aberta
com
estará obviamente contida em
, já que todos os pontos estão em
. Portanto,
satisfaz a definição de aberto.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que o conjunto vazio
é aberto. Pela definição, para ser aberto, todo ponto de
deve ter uma bola aberta ao redor dele contida em
. Mas, não há pontos em
, então a condição é automaticamente satisfeita. Isso é conhecido como vacuamente verdadeiro. Portanto,
também é aberto.
Resposta
Dessa forma, mostramos que tanto o espaço
quanto o conjunto vazio
são abertos em qualquer espaço métrico
.