Seja M, d um espaço métrico. Se {F_lambda}_{lambda in L} é uma família arbitrária de fechados então F = interseção(lambda em L) F_lambda é fechado.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que está pedindo aqui. A questão fala sobre espaços métricos, que são um conceito da Topologia, uma área da Matemática. A gente precisa mostrar que, se você tem uma coleção qualquer de conjuntos fechados dentro de um espaço métrico M, d, o que acontece se você pegar a interseção de todos esses conjuntos? A resposta é que essa interseção também é um conjunto fechado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço métrico, o que são conjuntos fechados e como trabalhar com interseções desses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto fechado. Em um espaço métrico M, d, um conjunto F é fechado se contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se uma sequência de pontos em F converge para algum ponto x em M, então esse ponto x também deve estar em F.

Passo 3

Agora, considere uma família arbitrária de conjuntos fechados {F_lambda}_{lambda in L}. Queremos mostrar que a interseção de todos esses conjuntos, , também é fechada.

Passo 4

Para provar que F é fechado, precisamos verificar que ele contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se temos uma sequência de pontos em F que converge para algum ponto x em M, então x deve pertencer a F.

Passo 5

Então, seja uma sequência em F que converge para x in M. Como cada está em F, e F é a interseção de todos os , isso significa que para todo , .

Passo 6

Dado que cada é fechado e a sequência converge para x, pelo fato de que conjuntos fechados contêm seus pontos de limite, temos que para todo .

Passo 7

Como x pertence a todos os , isso significa que x pertence à interseção de todos eles, ou seja, x in F.

Resposta

Assim, mostramos que é um conjunto fechado.

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