Seja
um espaço métrico. Se
é uma família arbitrária de fechados então
é fechado.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que está pedindo aqui. A questão fala sobre espaços métricos, que são um conceito da Topologia, uma área da Matemática. A gente precisa mostrar que, se você tem uma coleção qualquer de conjuntos fechados dentro de um espaço métrico
, o que acontece se você pegar a interseção de todos esses conjuntos? A resposta é que essa interseção também é um conjunto fechado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço métrico, o que são conjuntos fechados e como trabalhar com interseções desses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto fechado. Em um espaço métrico
, um conjunto
é fechado se contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se uma sequência de pontos em
converge para algum ponto
em
, então esse ponto
também deve estar em
.
Passo 3
Agora, considere uma família arbitrária de conjuntos fechados
. Queremos mostrar que a interseção de todos esses conjuntos,
, também é fechada.
Passo 4
Para provar que
é fechado, precisamos verificar que ele contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se temos uma sequência de pontos em
que converge para algum ponto
em
, então
deve pertencer a
.
Passo 5
Então, seja
uma sequência em
que converge para
. Como cada
está em
, e
é a interseção de todos os
, isso significa que para todo
,
.
Passo 6
Dado que cada
é fechado e a sequência
converge para
, pelo fato de que conjuntos fechados contêm seus pontos de limite, temos que
para todo
.
Passo 7
Como
pertence a todos os
, isso significa que
pertence à interseção de todos eles, ou seja,
.
Resposta
Assim, mostramos que
é um conjunto fechado.