Sejam (R,|x-y|) um espaço métrico e X=Q. Determine partial X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Espaços Métricos! A gente tem o conjunto dos números reais com a distância padrão e um subconjunto , que são os números racionais. O que a gente precisa descobrir é qual é a fronteira de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é fronteira e como ela se relaciona com os conjuntos racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto num espaço métrico. A fronteira de um conjunto , denotada por , é o conjunto de pontos onde qualquer “balão” (ou seja, qualquer vizinhança) ao redor desses pontos contém pontos que estão dentro de e pontos que estão fora de . Basicamente, são os pontos que estão no “limite” de .

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto , que são todos os números racionais. Sabemos que os números racionais são densos nos reais, ou seja, entre dois números reais sempre existe um número racional. Mas também é verdade que os irracionais são densos nos reais. Isso significa que, em qualquer intervalo dos reais, você encontra tanto racionais quanto irracionais.

Passo 4

Dado que tanto os racionais quanto os irracionais estão densos em , qualquer ponto real que você escolher vai ter números racionais e irracionais arbitrariamente próximos. Portanto, para qualquer ponto , qualquer vizinhança de vai conter pontos de e pontos que não estão em (os irracionais).

Passo 5

Isso nos mostra que não há um ponto em que seja “apenas” racionais ou “apenas” irracionais dentro de qualquer vizinhança. Logo, todos os pontos reais são pontos de fronteira de .

Resposta

A fronteira de em é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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