Sejam
um espaço métrico
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de Espaços Métricos! A gente tem o conjunto dos números reais
com a distância padrão
e um subconjunto
, que são os números racionais. O que a gente precisa descobrir é qual é a fronteira de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é fronteira e como ela se relaciona com os conjuntos racionais e irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto num espaço métrico. A fronteira de um conjunto
, denotada por
, é o conjunto de pontos onde qualquer “balão” (ou seja, qualquer vizinhança) ao redor desses pontos contém pontos que estão dentro de
e pontos que estão fora de
. Basicamente, são os pontos que estão no “limite” de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto
, que são todos os números racionais. Sabemos que os números racionais são densos nos reais, ou seja, entre dois números reais sempre existe um número racional. Mas também é verdade que os irracionais são densos nos reais. Isso significa que, em qualquer intervalo dos reais, você encontra tanto racionais quanto irracionais.
Passo 4
Dado que tanto os racionais quanto os irracionais estão densos em
, qualquer ponto real que você escolher vai ter números racionais e irracionais arbitrariamente próximos. Portanto, para qualquer ponto
, qualquer vizinhança de
vai conter pontos de
e pontos que não estão em
(os irracionais).
Passo 5
Isso nos mostra que não há um ponto em
que seja “apenas” racionais ou “apenas” irracionais dentro de qualquer vizinhança. Logo, todos os pontos reais são pontos de fronteira de
.
Resposta
A fronteira de
em
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.