Considere R^3 com o produto escalar usual. Determine a componente c do vetor v= (6,-3, c) tal que | v=7
Resposta: c= pm 2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial no espaço tridimensional, R^3, utilizando o produto escalar (também conhecido como produto interno). Precisamos encontrar o valor da componente c do vetor v = (6, -3, c) de forma que o comprimento (ou norma) desse vetor seja igual a 7. Para isso, vamos utilizar a fórmula da norma de um vetor no espaço tridimensional e entender como aplicar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor no espaço R^3. A norma de um vetor v = (v1, v2, v3) é dada pela fórmula:
| v | = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Isso significa que para encontrar a norma, elevamos ao quadrado cada componente do vetor, somamos esses valores e depois tiramos a raiz quadrada do resultado.

Passo 3

No nosso caso, o vetor é v = (6, -3, c) e queremos que a norma desse vetor seja 7. Vamos substituir esses valores na fórmula:
7 = raiz6^2 + (-3)^2 + c^2
Primeiro, vamos calcular os quadrados dos componentes conhecidos:
6^2 = 36 e (-3)^2 = 9
Então, substituindo na equação:
7 = raiz36 + 9 + c^2

Passo 4

Agora, somamos os valores dentro da raiz:
36 + 9 = 45
Portanto, a equação fica:
7 = raiz45 + c^2
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
7^2 = 45 + c^2
49 = 45 + c^2

Passo 5

Agora, isolamos c^2 subtraindo 45 de ambos os lados:
49 - 45 = c^2
4 = c^2
Para encontrar c, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
c = pm raiz4
c = pm 2

Resposta

c= pm 2

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