Considere
com o produto escalar usual. Determine a componente
do vetor
tal que
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial no espaço tridimensional,
, utilizando o produto escalar (também conhecido como produto interno). Precisamos encontrar o valor da componente
do vetor
de forma que o comprimento (ou norma) desse vetor seja igual a 7. Para isso, vamos utilizar a fórmula da norma de um vetor no espaço tridimensional e entender como aplicar o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor no espaço
. A norma de um vetor
é dada pela fórmula:
Isso significa que para encontrar a norma, elevamos ao quadrado cada componente do vetor, somamos esses valores e depois tiramos a raiz quadrada do resultado.
Passo 3
No nosso caso, o vetor é
e queremos que a norma desse vetor seja 7. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Primeiro, vamos calcular os quadrados dos componentes conhecidos:
Então, substituindo na equação:
Passo 4
Agora, somamos os valores dentro da raiz:
Portanto, a equação fica:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 5
Agora, isolamos
subtraindo 45 de ambos os lados:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação: