Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole H, onde:
(a) H: 9 x^2-16 y^2-144=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma hipérbole representada pela equação . Nosso objetivo é encontrar a equação na forma canônica e descobrir várias características dela, como vértices, centro, focos, assíntotas, entre outros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma canônica. A forma canônica para uma hipérbole que abre horizontalmente é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
E para uma que abre verticalmente é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assimptotas.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada para se adequar à forma canônica. A equação original é:
9x^2 - 16y^2 - 144 = 0
Primeiro, vamos isolar os termos com 9x^2 - 16y^2 = 144 e 9x^2144 - 16y^2144 = 1 :
x^216 - y^29 = 1
Agora, vamos dividir todos os termos por 144 para que o lado direito da equação seja 1:
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma canônica da hipérbole que abre horizontalmente, com centro na origem .

Passo 4

Identificado que a forma canônica é , podemos ver que:
  • então
  • então
Isso significa que a distância do centro aos vértices é 4 unidades no eixo , e a distância relacionada às assimptotas no eixo é 3 unidades.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o centro da hipérbole. Na forma canônica que temos, o centro é Centro: (0, 0) . Como não temos termos de ou , o centro está na origem:

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar os vértices. Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices estão a uma distância Vértices: (h pm a, k) = (0 pm 4, 0) = (-4, 0) e (4, 0) do centro ao longo do eixo :
é

Passo 7

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 16 + 9 = 25 Rightarrow c = 5 :
Focos: (h pm c, k) = (0 pm 5, 0) = (-5, 0) e (5, 0)
Então, os focos estão a 5 unidades do centro ao longo do eixo :

Passo 8

A reta focal, também conhecida como eixo transversal, é a linha que passa pelos focos. Neste caso, como a hipérbole abre horizontalmente, a reta focal é o eixo Reta focal: y = 0 :
Reta não focal: x = 0
A reta não focal, ou eixo conjugado, é perpendicular à reta focal e passa pelo centro. Então, é o eixo :
ã

Passo 9

Os vértices imaginários são pontos que estendem o eixo conjugado Vértices imaginários: (0, pm 3) = (0, 3) e (0, -3) além do centro. Eles são dados por :
éá

Passo 10

A excentricidade e = ca = 54 = 1,25 da hipérbole é dada por:

Passo 11

As assíntotas são as linhas que a hipérbole se aproxima à medida que y = pm bax e y = pm 34x aumentam. Para uma hipérbole que abre horizontalmente, as assíntotas têm a forma:
Substituindo e :

Passo 12

Com todas essas informações, vamos resumir:
  • Forma canônica:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Reta focal:
  • Reta não focal:
  • Vértices imaginários: e
  • Excentricidade:
  • Assíntotas: e

Resposta

A hipérbole tem a forma canônica , com centro em . Os vértices estão em e , os focos em e . A reta focal é e a reta não focal é . Os vértices imaginários são e , a excentricidade é , e as assíntotas são e . O esboço da hipérbole pode ser desenhado com essas informações.

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