Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole
, onde:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma hipérbole representada pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a equação na forma canônica e descobrir várias características dela, como vértices, centro, focos, assíntotas, entre outros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados às hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma canônica. A forma canônica para uma hipérbole que abre horizontalmente é:
E para uma que abre verticalmente é:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado às assimptotas.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação dada para se adequar à forma canônica. A equação original é:
Primeiro, vamos isolar os termos com
e
:
Agora, vamos dividir todos os termos por 144 para que o lado direito da equação seja 1:
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma canônica da hipérbole que abre horizontalmente, com centro na origem
.
Passo 4
Identificado que a forma canônica é
, podemos ver que:
-
então -
então
Isso significa que a distância do centro aos vértices é 4 unidades no eixo
, e a distância relacionada às assimptotas no eixo
é 3 unidades.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o centro da hipérbole. Na forma canônica que temos, o centro é
. Como não temos termos de
ou
, o centro está na origem:
Passo 6
Em seguida, vamos encontrar os vértices. Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
Passo 7
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Então, os focos estão a 5 unidades do centro ao longo do eixo
:
Passo 8
A reta focal, também conhecida como eixo transversal, é a linha que passa pelos focos. Neste caso, como a hipérbole abre horizontalmente, a reta focal é o eixo
:
A reta não focal, ou eixo conjugado, é perpendicular à reta focal e passa pelo centro. Então, é o eixo
:
Passo 9
Os vértices imaginários são pontos que estendem o eixo conjugado
além do centro. Eles são dados por
:
Passo 10
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Passo 11
As assíntotas são as linhas que a hipérbole se aproxima à medida que
e
aumentam. Para uma hipérbole que abre horizontalmente, as assíntotas têm a forma:
Substituindo
e
:
Passo 12
Com todas essas informações, vamos resumir:
- Forma canônica:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Reta focal:
- Reta não focal:
- Vértices imaginários:
e - Excentricidade:
- Assíntotas:
e
Resposta
A hipérbole
tem a forma canônica
, com centro em
. Os vértices estão em
e
, os focos em
e
. A reta focal é
e a reta não focal é
. Os vértices imaginários são
e
, a excentricidade é
, e as assíntotas são
e
. O esboço da hipérbole pode ser desenhado com essas informações.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então
.
Se
Mostre que se
for um vetor no plano, então os vetores
e
são ortogonais a
. Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a
.
(MACK-SP) A solução da equação
é um complexo
de módulo:
c) 18
c) 18
Considere
com o produto escalar usual. Determine a componente
do vetor
tal que
Resposta:
Resposta: