Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole , onde:
(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma hipérbole representada pela equação . Nosso objetivo é encontrar a equação na forma canônica e descobrir várias características dela, como vértices, centro, focos, assíntotas, entre outros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma canônica. A forma canônica para uma hipérbole que abre horizontalmente é:
E para uma que abre verticalmente é:
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assimptotas.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada para se adequar à forma canônica. A equação original é:
Primeiro, vamos isolar os termos com e :
Agora, vamos dividir todos os termos por 144 para que o lado direito da equação seja 1:
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma canônica da hipérbole que abre horizontalmente, com centro na origem .

Passo 4

Identificado que a forma canônica é , podemos ver que:
  • então
  • então
Isso significa que a distância do centro aos vértices é 4 unidades no eixo , e a distância relacionada às assimptotas no eixo é 3 unidades.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o centro da hipérbole. Na forma canônica que temos, o centro é . Como não temos termos de ou , o centro está na origem:

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar os vértices. Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
é

Passo 7

Para encontrar os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a 5 unidades do centro ao longo do eixo :

Passo 8

A reta focal, também conhecida como eixo transversal, é a linha que passa pelos focos. Neste caso, como a hipérbole abre horizontalmente, a reta focal é o eixo :
A reta não focal, ou eixo conjugado, é perpendicular à reta focal e passa pelo centro. Então, é o eixo :
ã

Passo 9

Os vértices imaginários são pontos que estendem o eixo conjugado além do centro. Eles são dados por :
éá

Passo 10

A excentricidade da hipérbole é dada por:

Passo 11

As assíntotas são as linhas que a hipérbole se aproxima à medida que e aumentam. Para uma hipérbole que abre horizontalmente, as assíntotas têm a forma:
Substituindo e :

Passo 12

Com todas essas informações, vamos resumir:
  • Forma canônica:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Reta focal:
  • Reta não focal:
  • Vértices imaginários: e
  • Excentricidade:
  • Assíntotas: e

Resposta

A hipérbole tem a forma canônica , com centro em . Os vértices estão em e , os focos em e . A reta focal é e a reta não focal é . Os vértices imaginários são e , a excentricidade é , e as assíntotas são e . O esboço da hipérbole pode ser desenhado com essas informações.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então .
Mostre que se for um vetor no plano, então os vetores e são ortogonais a . Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a .
(MACK-SP) A solução da equação
é um complexo de módulo:
c) 18
Considere com o produto escalar usual. Determine a componente do vetor tal que
Resposta: