Considere R^4 com o produto inerno usual. Use o processo de GramSchmidt para obter uma base ortonormal a partir da base
v1=(0,2,1,0), v2=(1,-1,0,0), v3=(1,2,0,-1), v4=(1,0,0,1).
Encontre a decomposição A=Q R neste caso.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo o processo de Gram-Schmidt no espaço com o produto interno usual. A ideia é transformar uma base dada de quatro vetores em uma base ortonormal. Além disso, precisamos encontrar a decomposição , onde é a matriz formada pelos vetores originais, é a matriz com as colunas da base ortonormal, e é uma matriz triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o processo de Gram-Schmidt e aplicar passo a passo para obter e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno de quaisquer dois vetores diferentes é zero) e cada vetor tem norma 1.
O processo de Gram-Schmidt nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal. Vamos começar com o primeiro vetor da base original e normalizá-lo.

Passo 3

Começamos com o vetor |v1| = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz0 + 4 + 1 + 0 = raiz5 . Para normalizar e1 = v1|v1| = (0, 2raiz5, 1raiz5, 0) , calculamos a sua norma:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor proje1 v2 = ( v2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 . Precisamos torná-lo ortogonal a v2 cdot e1 = 1 cdot 0 + (-1) cdot 2raiz5 + 0 cdot 1raiz5 + 0 cdot 0 = -2raiz5 . Isso é feito subtraindo de proje1 v2 = ( -2raiz5 ) e1 = (0, -45, -25, 0) a projeção de u2 = v2 - proje1 v2 = (1, -1, 0, 0) - (0, -45, -25, 0) = (1, -15, 25, 0) em |u2| = raiz1^2 + (-15)^2 + (25)^2 + 0^2 = raiz1 + 125 + 425 = raiz3025 = raiz65 = raiz305 :
e2 = u2|u2| = (5raiz30, -1raiz30, 2raiz30, 0)
Calculando o produto interno :
Então,
Subtraindo essa projeção de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 5

Agora, vamos ao terceiro vetor proje1 v3 = ( v3 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 . Precisamos torná-lo ortogonal a v3 cdot e1 = 1 cdot 0 + 2 cdot 2raiz5 + 0 cdot 1raiz5 + (-1) cdot 0 = 4raiz5 e proje1 v3 = 4raiz5 e1 = (0, 85, 45, 0) . Primeiro, subtraímos as projeções em proje2 v3 = ( v3 cdot e2e2 cdot e2 ) e2 e v3 cdot e2 = 1 cdot 5raiz30 + 2 cdot (-1raiz30) + 0 cdot 2raiz30 + (-1) cdot 0 = 5raiz30 - 2raiz30 = 3raiz30 :
proje2 v3 = 3raiz30 e2 = (1530, -330, 630, 0) = (12, -110, 15, 0)
Calculando u3 = v3 - proje1 v3 - proje2 v3 = (1, 2, 0, -1) - (0, 85, 45, 0) - (12, -110, 15, 0) = (12, 145, -95, -1) :
|u3| = raiz(12)^2 + (145)^2 + (-95)^2 + (-1)^2 = raiz14 + 19625 + 8125 + 1 = raiz14 + 27725 = raiz14 + 11.08 approx raiz11.33 approx 3.366
Então,
e3 = u3|u3| approx (1/23.366, 14/53.366, -9/53.366, -13.366) approx (0.148, 0.829, -0.534, -0.297)
Agora, a projeção em :
Calculando :
Então,
Subtraindo ambas as projeções de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 6

Finalmente, vamos ao quarto vetor proje1 v4 = ( v4 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 . Precisamos torná-lo ortogonal a v4 cdot e1 = 1 cdot 0 + 0 cdot 2raiz5 + 0 cdot 1raiz5 + 1 cdot 0 = 0 , proje2 v4 = ( v4 cdot e2e2 cdot e2 ) e2 e v4 cdot e2 = 1 cdot 5raiz30 + 0 cdot (-1raiz30) + 0 cdot 2raiz30 + 1 cdot 0 = 5raiz30 . Fazemos isso subtraindo as projeções em cada um desses vetores:
proje2 v4 = 5raiz30 e2 = (2530, -530, 1030, 0) = (56, -16, 13, 0)
Calculando proje3 v4 = ( v4 cdot e3e3 cdot e3 ) e3 :
v4 cdot e3 approx 1 cdot 0.148 + 0 cdot 0.829 + 0 cdot (-0.534) + 1 cdot (-0.297) = 0.148 - 0.297 = -0.149
Então, proje3 v4 approx -0.1491 e3 approx (-0.149 cdot 0.148, -0.149 cdot 0.829, -0.149 cdot (-0.534), -0.149 cdot (-0.297)) approx (-0.022, -0.124, 0.079, 0.044) .
Agora, a projeção em u4 = v4 - proje1 v4 - proje2 v4 - proje3 v4 approx (1, 0, 0, 1) - (0, 0, 0, 0) - (56, -16, 13, 0) - (-0.022, -0.124, 0.079, 0.044) approx (1 - 56 + 0.022, 0 - (-16) + 0.124, 0 - 13 - 0.079, 1 - 0 + (-0.044)) approx (0.388, 0.290, -0.413, 0.956) :
|u4| approx raiz0.388^2 + 0.290^2 + (-0.413)^2 + 0.956^2 approx raiz0.150 + 0.084 + 0.170 + 0.914 approx raiz1.318 approx 1.147
Calculando e4 approx u4|u4| approx (0.3881.147, 0.2901.147, -0.4131.147, 0.9561.147) approx (0.338, 0.253, -0.360, 0.832) :
Então,
Agora, a projeção em :
Calculando :
Então,
Subtraindo as projeções de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
Q = 0 & 5raiz30 & 0.148 & 0.338 2raiz5 & -1raiz30 & 0.829 & 0.253 1raiz5 & 2raiz30 & -0.534 & -0.360 0 & 0 & -0.297 & 0.832
E a decomposição R = raiz5 & 2raiz5 & 1raiz5 & 0 0 & raiz305 & 1raiz30 & 56 0 & 0 & 3.366 & -0.022 0 & 0 & 0 & 1.147 é dada por:

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