Considere com o produto inerno usual. Use o processo de GramSchmidt para obter uma base ortonormal a partir da base .
Encontre a decomposição neste caso.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo o processo de Gram-Schmidt no espaço com o produto interno usual. A ideia é transformar uma base dada de quatro vetores em uma base ortonormal. Além disso, precisamos encontrar a decomposição , onde é a matriz formada pelos vetores originais, é a matriz com as colunas da base ortonormal, e é uma matriz triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o processo de Gram-Schmidt e aplicar passo a passo para obter e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno de quaisquer dois vetores diferentes é zero) e cada vetor tem norma 1.
O processo de Gram-Schmidt nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal. Vamos começar com o primeiro vetor da base original e normalizá-lo.
Passo 3
Começamos com o vetor . Para normalizar , calculamos a sua norma:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor . Precisamos torná-lo ortogonal a . Isso é feito subtraindo de a projeção de em :
Calculando o produto interno :
Então,
Subtraindo essa projeção de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,
Passo 5
Agora, vamos ao terceiro vetor . Precisamos torná-lo ortogonal a e . Primeiro, subtraímos as projeções em e :
Calculando :
Então,
Agora, a projeção em :
Calculando :
Então,
Subtraindo ambas as projeções de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos ao quarto vetor . Precisamos torná-lo ortogonal a , e . Fazemos isso subtraindo as projeções em cada um desses vetores:
Calculando :
Então, .
Agora, a projeção em :
Calculando :
Então,
Agora, a projeção em :
Calculando :
Então,
Subtraindo as projeções de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
E a decomposição R = raiz5 & 2raiz5 & 1raiz5 & 0 0 & raiz305 & 1raiz30 & 56 0 & 0 & 3.366 & -0.022 0 & 0 & 0 & 1.147 é dada por: