Seja
. Seja
, mostre que as funções definem produto interno nos casos
b)
b)
Passo 1
Então, o enunciado nos pede para mostrar que a função
define um produto interno no espaço
. Vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer para validar essa afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores um número real, obedecendo a certas propriedades: positividade, linearidade, e simetria. Precisamos verificar essas propriedades para a função dada.
Passo 3
A primeira propriedade é a positividade. Isso significa que para qualquer vetor
, o produto interno
deve ser maior ou igual a zero, e igual a zero somente se
for o vetor nulo.
Calculando:
Como
e
são sempre não negativos, e os coeficientes
e
também são positivos, a soma será sempre não negativa. Além disso,
somente se
e
, ou seja, se
for o vetor nulo.
Passo 4
A segunda propriedade é a linearidade em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores
e escalar
, deve valer:
Vamos verificar:
Distribuindo os termos:
Portanto, a linearidade é satisfeita.
Passo 5
A terceira propriedade é a simetria. Isso quer dizer que
deve ser igual a
para quaisquer vetores
e
.
Vamos verificar:
Como
e
, temos que
.
Resposta
A função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
, confirmando que ela define um produto interno nesse espaço.