Seja V=R^2. Seja u=(x1, y1), v=(x2, y2), mostre que as funções definem produto interno nos casos
b) lang<= u, vrang<==19 x1 x2+14 y1 y2

Passo 1

Então, o enunciado nos pede para mostrar que a função define um produto interno no espaço . Vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer para validar essa afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores um número real, obedecendo a certas propriedades: positividade, linearidade, e simetria. Precisamos verificar essas propriedades para a função dada.

Passo 3

A primeira propriedade é a positividade. Isso significa que para qualquer vetor lang<= u, u rang<= = 19 x1^2 + 14 y1^2 , o produto interno deve ser maior ou igual a zero, e igual a zero somente se for o vetor nulo.
Calculando:
Como e são sempre não negativos, e os coeficientes e também são positivos, a soma será sempre não negativa. Além disso, somente se e , ou seja, se for o vetor nulo.

Passo 4

A segunda propriedade é a linearidade em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores lang<= a u + v, w rang<= = a lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= e escalar lang<= a u + v, w rang<= = 19 (a x1 + x2) w1 + 14 (a y1 + y2) w2 , deve valer:
= a ( 19 x1 w1 + 14 y1 w2 ) + 19 x2 w1 + 14 y2 w2
Vamos verificar:
= a lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
Distribuindo os termos:
Portanto, a linearidade é satisfeita.

Passo 5

A terceira propriedade é a simetria. Isso quer dizer que lang<= u, v rang<= = 19 x1 x2 + 14 y1 y2 deve ser igual a lang<= v, u rang<= = 19 x2 x1 + 14 y2 y1 para quaisquer vetores e .
Vamos verificar:
Como e , temos que .

Resposta

A função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em , confirmando que ela define um produto interno nesse espaço.

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