Seja
. Seja
, mostre que as funções definem produto interno nos casos
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função definida em
é um produto interno. Produto interno é um jeito de medir ângulos e comprimentos no espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as propriedades de um produto interno: simetria, linearidade e positividade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso quer dizer que
deve ser igual a
.
A função dada é:
Agora, trocando
e
, temos:
Observamos que
e
, então:
Portanto, a função é simétrica.
Passo 3
Agora vamos checar a linearidade na primeira variável. Isso significa que para quaisquer vetores
em
e escalar
, deve valer:
Vamos considerar
,
e
um número real.
Calculando
:
Distribuindo e reorganizando os termos, vemos que isso equivale a:
Que é igual a:
Portanto, a função é linear na primeira variável.
Passo 4
Por último, vamos verificar a positividade. Ou seja, para qualquer vetor
, devemos ter
e
somente se
.
Calculando
:
Cada termo aqui é não negativo porque é uma soma de quadrados multiplicados por constantes positivas:
A soma desses termos também é não negativa. Além disso,
só acontece se
e
, ou seja, se
.
Resposta
A função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
, portanto, define um produto interno válido.