Seja V=R^2. Seja u=(x1, y1), v=(x2, y2), mostre que as funções definem produto interno nos casos
c) lang<= u, vrang<==4 x1 x2+x1 x2 y1 y2+4 y1 y2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função definida em é um produto interno. Produto interno é um jeito de medir ângulos e comprimentos no espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as propriedades de um produto interno: simetria, linearidade e positividade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso quer dizer que lang<= u, v rang<= = 4x1x2 + x1x2y1y2 + 4y1y2 deve ser igual a lang<= v, u rang<= = 4x2x1 + x2x1y2y1 + 4y2y1 .
A função dada é:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Agora, trocando e , temos:
Observamos que e , então:
Portanto, a função é simétrica.

Passo 3

Agora vamos checar a linearidade na primeira variável. Isso significa que para quaisquer vetores lang<= a u + u', v rang<= = a lang<= u, v rang<= + lang<= u', v rang<= em lang<= (a x1 + x'1, a y1 + y'1), (x2, y2) rang<= = 4(a x1 + x'1)x2 + (a x1 + x'1)x2(a y1 + y'1) + 4(a y1 + y'1)y2 e escalar a (4x1x2 + x1x2y1y2 + 4y1y2) + (4x'1x2 + x'1x2y'1y2 + 4y'1y2) , deve valer:
a lang<= u, v rang<= + lang<= u', v rang<=
Vamos considerar , e um número real.
Calculando :
Distribuindo e reorganizando os termos, vemos que isso equivale a:
Que é igual a:
Portanto, a função é linear na primeira variável.

Passo 4

Por último, vamos verificar a positividade. Ou seja, para qualquer vetor lang<= u, u rang<= = 4x1^2 + x1^2 y1^2 + 4y1^2 , devemos ter e somente se .
Calculando :
Cada termo aqui é não negativo porque é uma soma de quadrados multiplicados por constantes positivas:
A soma desses termos também é não negativa. Além disso, só acontece se e , ou seja, se .

Resposta

A função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em , portanto, define um produto interno válido.

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