Verifique em cada caso se W é subespaço de R^2. Justique sua resposta.
a) W=(x, y): 5 x-4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso envolve entender o que é um subespaço e checar algumas condições básicas para ver se o se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero é . Vamos ver se ele satisfaz a equação .
Substituindo: .
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e , que satisfazem e .
Somando esses vetores: .
Vamos verificar se esse vetor está em :
.
Como a soma também satisfaz a equação, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em , digamos , que satisfaz , e um número real .
Multiplicando o vetor por : .
Vamos verificar se esse vetor está em :
.
Como a multiplicação por escalar mantém a equação satisfeita, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço de , pois satisfaz todas as condições necessárias de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

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