Verifique em cada caso se
é subespaço de
. Justique sua resposta.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve entender o que é um subespaço e checar algumas condições básicas para ver se o
se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero é
. Vamos ver se ele satisfaz a equação
.
Substituindo:
.
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, que satisfazem
e
.
Somando esses vetores:
.
Vamos verificar se esse vetor está em
:
Como a soma também satisfaz a equação,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, que satisfaz
, e um número real
.
Multiplicando o vetor por
:
.
Vamos verificar se esse vetor está em
:
Como a multiplicação por escalar mantém a equação satisfeita,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
, pois satisfaz todas as condições necessárias de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.