Use a definição para decidir se os vetores dados em R^3 são linearmente dependentes. Justifique sua resposta.
a) u=(1,1,0), v=(0,-1,1) e w=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os vetores , e em são linearmente dependentes. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de dependência linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de dependência linear e ver se conseguimos encontrar uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de vetores linearmente dependentes. Três vetores a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0 , e são linearmente dependentes se existem escalares , e , não todos zero, tais que:
Aqui, o vetor é o vetor nulo .

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
a cdot (1, 1, 0) + b cdot (0, -1, 1) + c cdot (1, 1, 1) = (0, 0, 0)
Isso significa que:
(a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1, a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 1, a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1) = (0, 0, 0)

Passo 4

Agora, vamos separar isso em sistema de equações para cada componente:
a + c = 0 a - b + c = 0 b + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de , e .

Passo 5

Da primeira equação (-c) - (-c) + c = 0 -c + c + c = 0 c = 0 , temos .
Da terceira equação , temos .
Substituindo e na segunda equação:
Se , então e .

Resposta

Como a única solução é , que é trivial, os vetores , e não são linearmente dependentes.

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