Use a definição para decidir se os vetores dados em são linearmente dependentes. Justifique sua resposta.
a) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os vetores , e em são linearmente dependentes. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de dependência linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de dependência linear e ver se conseguimos encontrar uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de vetores linearmente dependentes. Três vetores , e são linearmente dependentes se existem escalares , e , não todos zero, tais que:
Aqui, o vetor é o vetor nulo .
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos separar isso em sistema de equações para cada componente:
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de , e .
Passo 5
Da primeira equação (-c) - (-c) + c = 0 -c + c + c = 0 c = 0 , temos .
Da terceira equação , temos .
Substituindo e na segunda equação:
Se , então e .
Resposta
Como a única solução é , que é trivial, os vetores , e não são linearmente dependentes.