Considere no
o produto interno dado por
para todo par de vetores
e
de
.
b) Determinar todos os vetores do
ortogonais a
.
b) Determinar todos os vetores do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os vetores no
que são ortogonais ao vetor
, usando um produto interno específico. Vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais e como usar o produto interno dado para achar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Aqui, o produto interno está definido de uma maneira específica:
Isso significa que, para dois vetores
e
, calculamos o produto interno usando essa fórmula.
Passo 3
Queremos encontrar todos os vetores
que são ortogonais a
. Segundo o que vimos, isso significa que:
Vamos substituir
na fórmula do produto interno:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, a condição para que
seja ortogonal a
é:
Resposta
Todos os vetores ortogonais a
no
são da forma
, onde
pode ser qualquer número real. Em outras palavras, os vetores ortogonais são
para todo
.
Exercícios relacionados
Determine se o conjunto de vetores em
é linearmente independente ou linearmente dependete:
e
Seja o plano
. Calcular:
a) para que o ponto
pertença ao plano
b) para que o ponto
pertença ao plano
c) para que o ponto
pertença ao plano
d) para que o ponto
pertença ao plano
e) para que o plano
seja paralelo ao plano
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar o valor de
para que os seguintes vetores sejam ortogonais:
Determinar uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de
, onde W é o subespaço de
dado por
e
.