Considere no R^2 o produto interno dado por lang<= u, vrang<==x1 y1+2 x2 y2-x1 y2-x2 y1 para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) de R^2.
b) Determinar todos os vetores do R^2 ortogonais a (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os vetores no R^2 que são ortogonais ao vetor (2,1), usando um produto interno específico. Vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais e como usar o produto interno dado para achar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Aqui, o produto interno está definido de uma maneira específica:
lang<= u, v rang<= = x1 y1 + 2 x2 y2 - x1 y2 - x2 y1
Isso significa que, para dois vetores u = (x1, x2) e v = (y1, y2), calculamos o produto interno usando essa fórmula.

Passo 3

Queremos encontrar todos os vetores u = (x1, x2) que são ortogonais a v = (2,1). Segundo o que vimos, isso significa que:
lang<= u, v rang<= = 0
Vamos substituir v = (2,1) na fórmula do produto interno:
lang<= (x1, x2), (2,1) rang<= = x1 cdot 2 + 2 cdot x2 cdot 1 - x1 cdot 1 - x2 cdot 2

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
2x1 + 2x2 - x1 - 2x2 = (2x1 - x1) + (2x2 - 2x2) = x1 + 0 = x1
Então, a condição para que u seja ortogonal a (2,1) é:
x1 = 0

Resposta

Todos os vetores ortogonais a (2,1) no R^2 são da forma (0, x2), onde x2 pode ser qualquer número real. Em outras palavras, os vetores ortogonais são (0, x2) para todo x2 in R.

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