Seja o plano pi: 3 x+y-z-4=0. Calcular:
a) m para que o ponto (1,3, m) pertença ao plano pi
b) n para que o ponto (0, n, 2) pertença ao plano pi
c) k para que o ponto (k, 2, k-1) pertença ao plano pi
d) t para que o ponto (2,2 t, t) pertença ao plano pi
e) h para que o plano alpha: h x-4 y+4 z-7=0 seja paralelo ao plano pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver cada parte desse exercício juntos! A gente tem o plano . Precisamos encontrar os valores de , , , e que satisfazem as condições dadas nos pontos e no plano . Pra isso, vamos usar a ideia básica de que, se um ponto pertence a um plano, as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação do plano.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar 3(1) + (3) - m - 4 = 0 tal que o ponto 3 + 3 - m - 4 = 0 implies 2 - m = 0 esteja no plano .
Primeiro, substituímos as coordenadas do ponto na equação do plano:
Simplificando:
Então, .

Passo 3

Parte b) Precisamos achar 3(0) + n - 2 - 4 = 0 para que o ponto n - 6 = 0 implies n = 6 pertença ao plano .
Substituindo na equação do plano:
Simplificando:

Passo 4

Parte c) Vamos encontrar 3k + 2 - (k - 1) - 4 = 0 de modo que o ponto 3k + 2 - k + 1 - 4 = 0 implies 2k - 1 = 0 implies k = 12 esteja no plano .
Substituindo na equação do plano:
Simplificando:

Passo 5

Parte d) Queremos determinar 3(2) + 2t - t - 4 = 0 para que o ponto 6 + t - 4 = 0 implies t + 2 = 0 implies t = -2 pertença ao plano .
Substituindo na equação do plano:
Simplificando:

Passo 6

Parte e) Precisamos encontrar h3 = -41 = 4-1 para que o plano h3 = -41 implies h = 3 times (-4) = -12 seja paralelo ao plano .
Dois planos são paralelos se os coeficientes das variáveis (os vetores normais) forem proporcionais. Ou seja:
Vamos usar a primeira proporção:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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