Determine se o conjunto de vetores em é linearmente independente ou linearmente dependete: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes em é linearmente independente ou dependente. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especialmente o conceito de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que verifica se existe uma combinação linear das matrizes que resulta na matriz nula apenas quando todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa ter uma combinação linear das matrizes , e igual a zero. Isso se traduz na equação:
Aqui, , e são escalares que multiplicam cada matriz, e é a matriz nula (todos os elementos iguais a zero).
Passo 3
Vamos substituir as matrizes , e na equação:
Passo 4
Agora, vamos realizar a multiplicação dos escalares pelas matrizes e somar os resultados:
Passo 5
Vamos somar os elementos correspondentes das matrizes:
Passo 6
Isso nos dá um sistema de equações:
Observamos que a segunda e a terceira equações são iguais, então na verdade temos três equações.
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: -2(2c3) + 4c3 = -4c3 + 4c3 = 0
Da segunda equação:
Substituindo na quarta equação:
Isso confirma que não há restrições adicionais.
Passo 8
As soluções são:
c1 = 2c3 c2 = -c3
O que significa que existe uma infinidade de soluções além da solução trivial .
Resposta
O conjunto de vetores , e é linearmente dependente.