Determinar o valor de para que os seguintes vetores sejam ortogonais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que os vetores e sejam ortogonais. Isso significa que o produto escalar (ou dot product) entre eles deve ser igual a zero. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores e igualar esse resultado a zero para encontrar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o produto escalar entre dois vetores. Se a gente tem dois vetores e , o produto escalar deles é dado por:
Esse valor precisa ser igual a zero para que os vetores sejam ortogonais.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes dos vetores e do exercício:
Então, as componentes são:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar usando a fórmula que vimos:
Substituindo as componentes:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Distribuindo o :
Então, temos:
Para que os vetores sejam ortogonais, esse valor deve ser igual a zero: