Determinar o valor de m para que os seguintes vetores sejam ortogonais:
u=m imath+jmath+(m+1) k e v=2 imath+m jmath-6 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que os vetores e sejam ortogonais. Isso significa que o produto escalar (ou dot product) entre eles deve ser igual a zero. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores e igualar esse resultado a zero para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o produto escalar entre dois vetores. Se a gente tem dois vetores a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 e , o produto escalar deles é dado por:
Esse valor precisa ser igual a zero para que os vetores sejam ortogonais.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores u = m imath + jmath + (m+1) k e v = 2 imath + m jmath -6 k do exercício:
u: u1 = m, u2 = 1, u3 = m + 1
v: v1 = 2, v2 = m, v3 = -6
Então, as componentes são:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 usando a fórmula que vimos:
u cdot v = m times 2 + 1 times m + (m + 1) times (-6)
Substituindo as componentes:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Simplificando a expressão:
u cdot v = 2m + m -6(m + 1)
Distribuindo o 2m + m -6m -6 = (2m + m -6m) -6 = (-3m) -6 :
u cdot v = -3m -6
Então, temos:
-3m -6 = 0
Para que os vetores sejam ortogonais, esse valor deve ser igual a zero:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar -3m -6 = 0 :
-3m = 6
Primeiro, somamos 6 em ambos os lados:
m = 6-3 = -2
Em seguida, dividimos ambos os lados por :

Resposta

O valor de que torna os vetores e ortogonais é .

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