Determinar uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de , onde W é o subespaço de dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço e para o complemento ortogonal em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como encontrar bases, verificar ortogonalidade e normalizar vetores. Vamos precisar identificar as condições que definem , encontrar vetores que formem uma base para , e então transformar essa base em uma base ortonormal. Depois, faremos o mesmo para .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o subespaço . Ele é definido pelas equações:
Queremos achar todos os vetores que satisfazem essas equações.
Passo 3
Vamos resolver as equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
A variável não aparece nas equações, então ela é livre. Vamos chamar e , onde e são parâmetros reais. Assim, os vetores de podem ser escritos como:
Isso significa que é gerado pelas combinações lineares dos vetores e .
Passo 4
Portanto, uma base para é:
Agora, para deixar essa base ortonormal, precisamos garantir que os vetores sejam mutuamente ortogonais e de norma 1.
Passo 5
Vamos verificar se os vetores são ortogonais:
1-1-30 cdot 0001 = 0
Como o produto interno deu zero, os vetores já são ortogonais. Agora, só falta normalizá-los, ou seja, dividir cada vetor pela sua norma.