Determinar uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de W^perp, onde W é o subespaço de R^4 dado por W=(x, y, z, t): x+y=0 e 2 x+z=y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço e para o complemento ortogonal em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como encontrar bases, verificar ortogonalidade e normalizar vetores. Vamos precisar identificar as condições que definem , encontrar vetores que formem uma base para , e então transformar essa base em uma base ortonormal. Depois, faremos o mesmo para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o subespaço x + y = 0 2x + z = y . Ele é definido pelas equações:
Queremos achar todos os vetores que satisfazem essas equações.

Passo 3

Vamos resolver as equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação, temos:
y = -x
Substituindo na segunda equação:
2x + z = -x implies z = -3x
A variável (a, -a, -3a, b) não aparece nas equações, então ela é livre. Vamos chamar e , onde e são parâmetros reais. Assim, os vetores de podem ser escritos como:
Isso significa que é gerado pelas combinações lineares dos vetores e .

Passo 4

Portanto, uma base para 1-1-30, 0001 é:
Agora, para deixar essa base ortonormal, precisamos garantir que os vetores sejam mutuamente ortogonais e de norma 1.

Passo 5

Vamos verificar se os vetores são ortogonais:
1-1-30 cdot 0001 = 0
Como o produto interno deu zero, os vetores já são ortogonais. Agora, só falta normalizá-los, ou seja, dividir cada vetor pela sua norma.

Passo 6

Calculando as normas:
| 1-1-30 | = raiz1^2 + (-1)^2 + (-3)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11
| 0001 | = raiz0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Então, a base ortonormal para 1raiz11 1-1-30, 0001 é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma base para . Por definição, é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de .

Passo 8

Para encontrar v1 - v2 - 3v3 = 0 v4 = 0 , consideramos um vetor genérico e impomos que ele seja ortogonal a ambos os vetores da base de :
Da segunda equação, já sabemos que .

Passo 9

Da primeira equação:
v1 = v2 + 3v3
Podemos expressar (a + 3b, a, b, 0) em termos de e . Vamos escolher e , onde e são parâmetros reais. Assim, os vetores de são:
Isso significa que é gerado pelas combinações lineares dos vetores e .

Passo 10

Uma base para 3110, 1100 é:
3110 cdot 1100 = 3 times 1 + 1 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 4 neq 0
Vamos agora verificar se esses vetores são ortogonais. Calculando o produto interno:
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Precisamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar.

Passo 11

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para u1 = 3110 .
Primeiro, definimos:
u2 = 1100
u'2 = u2 - u2 cdot u1u1 cdot u1 u1
Vamos ortogonalizar u2 cdot u1 = 3 times 1 + 1 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 4 em relação a u1 cdot u1 = 3^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = 11 :
u'2 = 1100 - 411 3110 = 1 - 1211 1 - 411 0 - 411 0 - 0 = -111 711 -411 0
Calculando os produtos:
Então:

Passo 12

Agora, temos dois vetores ortogonais:
u1 = 3110
u'2 = -111 711 -411 0
Vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal.
Calculando as normas:
|u1| = raiz3^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz11
|u'2| = raiz(-111)^2 + (711)^2 + (-411)^2 + 0^2 = raiz1 + 49 + 16121 = raiz66121 = raiz6611

Passo 13

Finalmente, a base ortonormal para 1raiz11 3110, 11raiz66 -111 711 -411 0 = 1raiz11 3110, 1raiz66 -17-40 é:

Resposta

Uma base ortonormal para 1raiz11 1-1-30, 0001 é:
1raiz11 3110, 1raiz66 -17-40
E uma base ortonormal para é:

Exercícios relacionados

Determinar o valor de m para que os seguintes vetores sejam ortogonais:
u=m imath+jmath+(m+1) k e v=2 imath+m jmath-6 k
Considere no R^2 o produto interno dado por lang<= u, vrang<==x1 y1+2 x2 y2-x1 y2-x2 y1 para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) de R^2.
b) Determinar todos os vetores do R^2 ortogonais a (2,1).
Determine o ângulo agudo entre as retas r:cx=1+2 t y=2-t z=3+t e s:arraylx=4+t y=2+t z=5+t
Seja u um vetor do R^3 perpendicular aos vetores v e w. Sabendo que v e w formam um ângulo de 30^circ e que |u|= 6,|| v |=3 e || w |=3, calcule u cdot(v times w).