Considere no o produto interno dado por para todo par de vetores e de .
c) Determinar todos os vetores ( ) de norma igual a 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que trabalha com produto interno em espaço vetorial, especificamente no . A tarefa é encontrar todos os vetores da forma que têm norma igual a 1 usando esse produto interno definido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e, a partir daí, determinar a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor em um espaço com produto interno é dada por:
No nosso caso, o produto interno está definido como:
Então, para calcular a norma de um vetor , precisamos calcular .

Passo 3

Vamos calcular substituindo na fórmula do produto interno:
Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar cada termo:
Agora, somando todos os termos:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos constantes:
Então, a expressão simplificada é:

Passo 6

Sabemos que a norma do vetor deve ser igual a 1, então temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 8

A equação quadrática pode ser fatorada como:
Então, a solução é:

Resposta

O único vetor da forma com norma igual a 1 é .

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