Considere no R^2 o produto interno dado por lang<= u, vrang<==x1 y1+2 x2 y2-x1 y2-x2 y1 para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) de R^2.
c) Determinar todos os vetores ( m, m-1 ) de norma igual a 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que trabalha com produto interno em espaço vetorial, especificamente no R^2. A tarefa é encontrar todos os vetores da forma (m, m-1) que têm norma igual a 1 usando esse produto interno definido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e, a partir daí, determinar a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor u em um espaço com produto interno é dada por:
|u| = raizlang<= u, u rang<=
No nosso caso, o produto interno está definido como:
lang<= u, v rang<= = x1 y1 + 2 x2 y2 - x1 y2 - x2 y1
Então, para calcular a norma de um vetor u = (m, m-1), precisamos calcular lang<= u, u rang<=.

Passo 3

Vamos calcular lang<= u, u rang<= substituindo u = (m, m-1) na fórmula do produto interno:
lang<= u, u rang<= = m cdot m + 2(m-1)(m-1) - m(m-1) - (m-1)m
Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar cada termo:
  1. m cdot m = m^2
  2. 2(m-1)(m-1) = 2(m^2 - 2m + 1) = 2m^2 - 4m + 2
  3. -m(m-1) = -m^2 + m
  4. -(m-1)m = -m^2 + m
Agora, somando todos os termos:
m^2 + 2m^2 - 4m + 2 - m^2 + m - m^2 + m

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos com m^2: m^2 + 2m^2 - m^2 - m^2 = (1 + 2 - 1 - 1)m^2 = 1m^2
  • Termos com m: -4m + m + m = (-4 + 1 + 1)m = -2m
  • Termos constantes: +2
Então, a expressão simplificada é:
lang<= u, u rang<= = m^2 - 2m + 2

Passo 6

Sabemos que a norma do vetor deve ser igual a 1, então temos:
|u| = raizlang<= u, u rang<= = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
lang<= u, u rang<= = 1
Então:
m^2 - 2m + 2 = 1

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática:
m^2 - 2m + 2 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
m^2 - 2m + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 8

A equação quadrática m^2 - 2m + 1 = 0 pode ser fatorada como:
(m - 1)^2 = 0
Então, a solução é:
m - 1 = 0 implies m = 1

Resposta

O único vetor da forma (m, m-1) com norma igual a 1 é (1, 0).

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