Considere no
o produto interno dado por
para todo par de vetores
e
de
.
c) Determinar todos os vetores (
) de norma igual a 1 .
c) Determinar todos os vetores (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que trabalha com produto interno em espaço vetorial, especificamente no
. A tarefa é encontrar todos os vetores da forma
que têm norma igual a 1 usando esse produto interno definido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e, a partir daí, determinar a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
em um espaço com produto interno é dada por:
No nosso caso, o produto interno está definido como:
Então, para calcular a norma de um vetor
, precisamos calcular
.
Passo 3
Vamos calcular
substituindo
na fórmula do produto interno:
Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 4
Vamos expandir e simplificar cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos com
: - Termos com
: - Termos constantes:
Então, a expressão simplificada é:
Passo 6
Sabemos que a norma do vetor deve ser igual a 1, então temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver.
Passo 8
A equação quadrática
pode ser fatorada como:
Então, a solução é:
Resposta
O único vetor da forma
com norma igual a 1 é
.
Exercícios relacionados
Dado
encontre a distância de
a reta suporte determinada pelos pontos
e
.
Sejam os pontos
e
.
b) Calcule o comprimento da altura do triângulo ABC , relativa ao vértice B .
b) Calcule o comprimento da altura do triângulo ABC , relativa ao vértice B .
Prove que se o conjunto de vetores
é L.I., então o conjunto
também é L.I.
Sendo
e
, calcule
e
de modo que
e
determinem um paralelogramo de área
e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.