Dado P(-1,2,2) encontre a distância de P a reta suporte determinada pelos pontos A(3,3,-2) e B(2,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos quebrar esse problema. A gente tem um ponto e uma reta que passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a distância do ponto até essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a direção da reta. Para isso, precisamos do vetor diretor da reta, que é dado pela diferença entre os pontos v = B - A = (2-3, -1-3, 2-(-2)) = (-1, -4, 4) e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos formar um vetor que vai de AP = P - A = (-1-3, 2-3, 2-(-2)) = (-4, -1, 4) até . Vamos calcular:

Passo 4

A fórmula para a distância d = ||AP times v||||v|| de um ponto a uma reta no espaço usa o produto vetorial dos vetores e . A fórmula é:
Aqui, é o módulo do produto vetorial, e é o módulo do vetor diretor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k -4 & -1 & 4 -1 & -4 & 4 :
AP times v = i((-1)(4) - (4)(-4)) - j((-4)(4) - (4)(-1)) + k((-4)(-4) - (-1)(-1)) = i(-4 + 16) - j(-16 + 4) + k(16 - 1) = i(12) - j(-12) + k(15) = (12, 12, 15)
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante:
||AP times v|| = raiz12^2 + 12^2 + 15^2 = raiz144 + 144 + 225 = raiz513 = 3raiz57

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do vetor diretor ||v|| = raiz(-1)^2 + (-4)^2 + 4^2 = raiz1 + 16 + 16 = raiz33 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 3raiz57raiz33 = 3 cdot raiz57raiz33 = 3 cdot raiz5733 = 3 cdot raiz1911 approx 3 cdot 1.317 = 3.951

Resposta

A distância do ponto até a reta determinada pelos pontos e é aproximadamente unidades.

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