Sejam os pontos A(1,3,-1), B(5,-6,2) e C(1,-1,2).
b) Calcule o comprimento da altura do triângulo ABC , relativa ao vértice B . h=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo no espaço com os vértices em , e . A pergunta é para calcular o comprimento da altura relativa ao vértice . Pra isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais vetores precisamos. A altura relativa ao vértice é a distância de até o lado oposto, que nesse caso é o lado . Então, vamos precisar dos vetores e .

Passo 3

Vamos calcular o vetor AC = C - A = (1-1, -1-3, 2-(-1)) = (0, -4, 3) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor AB = B - A = (5-1, -6-3, 2-(-1)) = (4, -9, 3) :

Passo 5

Para encontrar a altura, usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço. A distância d = |AB times AC||AC| de até a reta é dada por:
Aqui, é o produto vetorial dos vetores e , e é o módulo do vetor .

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k 4 & -9 & 3 0 & -4 & 3 = i(-9 cdot 3 - 3 cdot (-4)) - j(4 cdot 3 - 3 cdot 0) + k(4 cdot (-4) - (-9) cdot 0) :
AB times AC = i(-27 + 12) - j(12 - 0) + k(-16 - 0) = (-15, -12, -16)
|AB times AC| = raiz(-15)^2 + (-12)^2 + (-16)^2 = raiz225 + 144 + 256 = raiz625 = 25
O módulo desse vetor é:
|AC| = raiz0^2 + (-4)^2 + 3^2 = raiz0 + 16 + 9 = raiz25 = 5
Agora, o módulo de d = 255 = 5 :
Então, a distância é:

Resposta

A altura do triângulo ABC relativa ao vértice B é unidades.

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