Sendo e , calcule e de modo que e determinem um paralelogramo de área e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os valores de e do vetor de modo que, junto com o vetor , forme um paralelogramo com área igual a . Além disso, queremos que os vetores façam ângulos agudos iguais com os eixos e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial deles. Ou seja:
Vamos calcular o produto vetorial .
Passo 3
Calculando o produto vetorial:
Passo 4
O módulo do produto vetorial é:
Queremos que essa área seja , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Expandindo :
Substituindo na equação:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, precisamos de outra equação para resolver as duas incógnitas e . Essa segunda condição vem dos ângulos que os vetores fazem com os eixos e .
Passo 7
Os ângulos que o vetor faz com os eixos e podem ser calculados usando o cosseno desses ângulos. Como os ângulos são agudos e iguais, as componentes e devem ser iguais em termos de magnitude.
Isso nos leva a:
Passo 8
Substituindo na equação :
Como estamos lidando com magnitudes, consideramos .