Sendo e , calcule e de modo que e determinem um paralelogramo de área e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os valores de e do vetor de modo que, junto com o vetor , forme um paralelogramo com área igual a . Além disso, queremos que os vetores façam ângulos agudos iguais com os eixos e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial deles. Ou seja:
Á
Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 3

Calculando o produto vetorial:

Passo 4

O módulo do produto vetorial é:
Queremos que essa área seja , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Expandindo :
Substituindo na equação:

Passo 6

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, precisamos de outra equação para resolver as duas incógnitas e . Essa segunda condição vem dos ângulos que os vetores fazem com os eixos e .

Passo 7

Os ângulos que o vetor faz com os eixos e podem ser calculados usando o cosseno desses ângulos. Como os ângulos são agudos e iguais, as componentes e devem ser iguais em termos de magnitude.
Isso nos leva a:

Passo 8

Substituindo na equação :
Como estamos lidando com magnitudes, consideramos .

Resposta

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Prove que se o conjunto de vetores é L.I., então o conjunto também é L.I.
Considere no o produto interno dado por para todo par de vetores e de .
c) Determinar todos os vetores ( ) de norma igual a 1 .
Determine o ponto simétrico a com relação ao plano .
Determine os valores de e para que o plano seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano