Sendo v=(1,1,3) e u=(x, 0, z), calcule x e z de modo que u e v determinem um paralelogramo de área 5 raiz6 e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz. x=z=raiz5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os valores de e do vetor de modo que, junto com o vetor , forme um paralelogramo com área igual a . Além disso, queremos que os vetores façam ângulos agudos iguais com os eixos e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial deles. Ou seja:
Área = |u times v| Á
Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
u times v = i & j & k x & 0 & z 1 & 1 & 3
= i(0 cdot 3 - z cdot 1) - j(x cdot 3 - z cdot 1) + k(x cdot 1 - 0 cdot 1)
= -z,i - (3x - z),j + x,k

Passo 4

O módulo do produto vetorial é:
|u times v| = raiz(-z)^2 + (-3x + z)^2 + x^2
= raizz^2 + (3x - z)^2 + x^2
Queremos que essa área seja raizz^2 + (3x - z)^2 + x^2 = 5raiz6 , então:
z^2 + (3x - z)^2 + x^2 = 150
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Expandindo (3x - z)^2 = 9x^2 - 6xz + z^2 :
z^2 + 9x^2 - 6xz + z^2 + x^2 = 150
Substituindo na equação:
10x^2 - 6xz + 2z^2 = 150

Passo 6

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
5x^2 - 3xz + z^2 = 75
Agora, precisamos de outra equação para resolver as duas incógnitas e . Essa segunda condição vem dos ângulos que os vetores fazem com os eixos e .

Passo 7

Os ângulos que o vetor x = z faz com os eixos e podem ser calculados usando o cosseno desses ângulos. Como os ângulos são agudos e iguais, as componentes e devem ser iguais em termos de magnitude.
Isso nos leva a:

Passo 8

Substituindo 5x^2 - 3x^2 + x^2 = 75 na equação 3x^2 = 75 :
x^2 = 25
x = raiz25 = 5
Como estamos lidando com magnitudes, consideramos .

Resposta

x = z = raiz5

Exercícios relacionados