Prove que se o conjunto de vetores u, v, w é L.I., então o conjunto u+v, u-v, w-2 u também é L.I.

Passo 1

Aqui temos um problema de álgebra linear que pede para provar que, se um conjunto de vetores u, v, w é linearmente independente (L.I.), então outro conjunto composto por combinações desses vetores, u+v, u-v, w-2u, também é L.I. Vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Dizemos que u, v, w é L.I. se a única solução para a equação
au + bv + cw = 0
é quando a = b = c = 0. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, queremos provar que o novo conjunto u+v, u-v, w-2u também é L.I. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear desses novos vetores igual a zero e mostramos que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zeros. Ou seja, queremos resolver:
alpha(u+v) + beta(u-v) + gamma(w-2u) = 0

Passo 4

Vamos expandir essa equação:
alphau + alphav + betau - betav + gammaw - 2gammau = 0
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(alpha + beta - 2gamma)u + (alpha - beta)v + gammaw = 0

Passo 5

Como sabemos que u, v, w é L.I., os coeficientes dessa combinação linear devem ser iguais a zero:
alpha + beta - 2gamma = 0 alpha - beta = 0 gamma = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da segunda equação: alpha = beta
  2. Da terceira equação: gamma = 0
  3. Substituindo alpha = beta e gamma = 0 na primeira equação: alpha + alpha - 0 = 0 2alpha = 0 Rightarrow alpha = 0 beta = 0

Resposta

Portanto, a única solução possível é alpha = beta = gamma = 0. Isso prova que o conjunto u+v, u-v, w-2u é linearmente independente.

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