Prove que se o conjunto de vetores
é L.I., então o conjunto
também é L.I.
Passo 1
Aqui temos um problema de álgebra linear que pede para provar que, se um conjunto de vetores
é linearmente independente (L.I.), então outro conjunto composto por combinações desses vetores,
, também é L.I. Vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Dizemos que
é L.I. se a única solução para a equação
é quando
. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, queremos provar que o novo conjunto
também é L.I. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear desses novos vetores igual a zero e mostramos que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zeros. Ou seja, queremos resolver:
Passo 4
Vamos expandir essa equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Como sabemos que
é L.I., os coeficientes dessa combinação linear devem ser iguais a zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
- Substituindo
e na primeira equação:
Resposta
Portanto, a única solução possível é
. Isso prova que o conjunto
é linearmente independente.
Exercícios relacionados
Considere no
o produto interno dado por
para todo par de vetores
e
de
.
c) Determinar todos os vetores ( ) de norma igual a 1 .
c) Determinar todos os vetores (
Dado
encontre a distância de
a reta suporte determinada pelos pontos
e
.
Sendo
e
, calcule
e
de modo que
e
determinem um paralelogramo de área
e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.
Determine o ponto simétrico a
com relação ao plano
.