Prove que se o conjunto de vetores é L.I., então o conjunto também é L.I.

Passo 1

Aqui temos um problema de álgebra linear que pede para provar que, se um conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.), então outro conjunto composto por combinações desses vetores, , também é L.I. Vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Dizemos que é L.I. se a única solução para a equação
é quando . Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, queremos provar que o novo conjunto também é L.I. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear desses novos vetores igual a zero e mostramos que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zeros. Ou seja, queremos resolver:

Passo 4

Vamos expandir essa equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Como sabemos que é L.I., os coeficientes dessa combinação linear devem ser iguais a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da segunda equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Substituindo e na primeira equação:

Resposta

Portanto, a única solução possível é . Isso prova que o conjunto é linearmente independente.

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