Considere em o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Estamos trabalhando com e um produto interno definido por
Nosso objetivo é verificar se essa operação realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, precisamos analisar propriedades como positividade, linearidade e simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria do produto interno. Isso significa que o produto interno de dois vetores deve ser igual ao produto interno dos mesmos vetores em ordem invertida. Ou seja, precisamos checar se
para quaisquer vetores e em .

Passo 3

Substituindo os vetores na definição dada, temos:
e
Observamos que , e . Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores , e em e para qualquer escalar , deve valer:
Usando a definição dada, podemos verificar que essa propriedade também é satisfeita, pois a multiplicação e a adição são distribuídas corretamente nos termos.

Passo 5

Finalmente, precisamos verificar a positividade. Para todo vetor em , o produto interno deve ser sempre maior ou igual a zero, e igual a zero somente se for o vetor nulo.
Calculando:
Como , e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma deles também será. Além disso, a soma será zero somente se , ou seja, se for o vetor nulo.

Resposta

Sim, a operação definida é um produto interno em .

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