Considere em R^3 o produto interno
lang<=(x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)rang<==x cdot x^prime+5 y cdot y^prime+2 z cdot z^prime
Verifique se realmente é um produto interno.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Estamos trabalhando com R^3 e um produto interno definido por
lang<=(x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)rang<= = x cdot x^prime + 5 y cdot y^prime + 2 z cdot z^prime
Nosso objetivo é verificar se essa operação realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, precisamos analisar propriedades como positividade, linearidade e simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria do produto interno. Isso significa que o produto interno de dois vetores deve ser igual ao produto interno dos mesmos vetores em ordem invertida. Ou seja, precisamos checar se
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
para quaisquer vetores u e v em R^3.

Passo 3

Substituindo os vetores na definição dada, temos:
lang<=(x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)rang<= = x x^prime + 5 y y^prime + 2 z z^prime
e
lang<=(x^prime, y^prime, z^prime),(x, y, z)rang<= = x^prime x + 5 y^prime y + 2 z^prime z
Observamos que x x^prime = x^prime x, 5 y y^prime = 5 y^prime y e 2 z z^prime = 2 z^prime z. Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores u, v e w em R^3 e para qualquer escalar a, deve valer:
lang<= au + v, w rang<= = alang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
Usando a definição dada, podemos verificar que essa propriedade também é satisfeita, pois a multiplicação e a adição são distribuídas corretamente nos termos.

Passo 5

Finalmente, precisamos verificar a positividade. Para todo vetor u = (x, y, z) em R^3, o produto interno lang<= u, u rang<= deve ser sempre maior ou igual a zero, e igual a zero somente se u for o vetor nulo.
Calculando:
lang<= u, u rang<= = x^2 + 5 y^2 + 2 z^2
Como x^2, 5 y^2 e 2 z^2 são sempre maiores ou iguais a zero, a soma deles também será. Além disso, a soma será zero somente se x = y = z = 0, ou seja, se u for o vetor nulo.

Resposta

Sim, a operação definida é um produto interno em R^3.

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