Considere em
o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Estamos trabalhando com
e um produto interno definido por
Nosso objetivo é verificar se essa operação realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, precisamos analisar propriedades como positividade, linearidade e simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a simetria do produto interno. Isso significa que o produto interno de dois vetores deve ser igual ao produto interno dos mesmos vetores em ordem invertida. Ou seja, precisamos checar se
para quaisquer vetores
e
em
.
Passo 3
Substituindo os vetores na definição dada, temos:
e
Observamos que
,
e
. Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores
,
e
em
e para qualquer escalar
, deve valer:
Usando a definição dada, podemos verificar que essa propriedade também é satisfeita, pois a multiplicação e a adição são distribuídas corretamente nos termos.
Passo 5
Finalmente, precisamos verificar a positividade. Para todo vetor
em
, o produto interno
deve ser sempre maior ou igual a zero, e igual a zero somente se
for o vetor nulo.
Calculando:
Como
,
e
são sempre maiores ou iguais a zero, a soma deles também será. Além disso, a soma será zero somente se
, ou seja, se
for o vetor nulo.
Resposta
Sim, a operação definida é um produto interno em
.
Exercícios relacionados
Determine: a transposta da matriz:
Seja
o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em
Considere
o subespaço de
gerado pelos vetores
e
.
é um produto interno?
Considere em
o produto interno
A partir da base
ache uma base ortonormal.
Se A é uma matriz
inversível que satisfaz
, então, qual será o valor do determinante de A ?