Se A é uma matriz
inversível que satisfaz
, então, qual será o valor do determinante de A ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz
de tamanho
que é inversível, ou seja, tem um inverso. Ela também satisfaz a equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor do determinante dessa matriz
. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Isso significa que se multiplicarmos a matriz
por ela mesma, o resultado será igual a duas vezes
. Podemos reescrever essa equação como:
Passo 3
Agora, vamos fatorar a equação:
Aqui,
é a matriz identidade
. Essa fatoração nos mostra que o produto de
e
é a matriz nula.
Passo 4
Sabemos que
é inversível, o que significa que o determinante de
não é zero (
). Portanto, para que o produto
seja verdadeiro, a única possibilidade é que
. Isso implica que:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos calcular o determinante de
. A matriz identidade
tem determinante 1, e quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante é multiplicado pelo escalar elevado ao tamanho da matriz. No caso, como
e a matriz é
, temos:
Resposta
O determinante da matriz
é
.
Exercícios relacionados
Considere em
o produto interno
A partir da base
ache uma base ortonormal.
Considere em
o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno.
Sejam
e
matrizes de
. Define-se
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base
.
Seja
e
. Determine o vetor unitário
, tal que u seja ortogonal a v e u seja ortogonal também a w.