Se A é uma matriz 2 times 2 inversível que satisfaz A^2=2 A, então, qual será o valor do determinante de A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz de tamanho que é inversível, ou seja, tem um inverso. Ela também satisfaz a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir o valor do determinante dessa matriz . Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação A^2 - 2A = 0 . Isso significa que se multiplicarmos a matriz por ela mesma, o resultado será igual a duas vezes . Podemos reescrever essa equação como:

Passo 3

Agora, vamos fatorar a equação:
A(A - 2I) = 0
Aqui, é a matriz identidade . Essa fatoração nos mostra que o produto de e é a matriz nula.

Passo 4

Sabemos que A = 2I é inversível, o que significa que o determinante de não é zero ( ). Portanto, para que o produto seja verdadeiro, a única possibilidade é que . Isso implica que:

Passo 5

Agora que sabemos que det(A) = det(2I) = 2^2 cdot det(I) = 4 cdot 1 = 4 , podemos calcular o determinante de . A matriz identidade tem determinante 1, e quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante é multiplicado pelo escalar elevado ao tamanho da matriz. No caso, como e a matriz é , temos:

Resposta

O determinante da matriz é .

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