Considere em
o produto interno
A partir da base
ache uma base ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal no espaço tridimensional
usando um produto interno específico. O enunciado nos dá a base padrão
e define o produto interno como
. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar vetores e garantir que eles sejam ortogonais com base nesse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre dois vetores diferentes é zero) e se cada vetor tem norma 1 (ou seja, o produto interno de um vetor consigo mesmo é 1).
Passo 3
Dado que já temos uma base padrão
, vamos verificar se esses vetores são ortogonais sob o produto interno fornecido. Calculando o produto interno entre vetores diferentes:
Então, os vetores são ortogonais entre si. Agora, precisamos normalizar cada vetor para que sua norma seja 1.
Passo 4
A norma de um vetor
no espaço com o produto interno dado é
. Vamos calcular a norma de cada vetor da base padrão:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
A base ortonormal é composta pelos vetores
Exercícios relacionados
Considere em
o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno.
Determine: a transposta da matriz:
Se A é uma matriz
inversível que satisfaz
, então, qual será o valor do determinante de A ?
Sejam
e
matrizes de
. Define-se
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base
.