Considere em o produto interno
A partir da base ache uma base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal no espaço tridimensional usando um produto interno específico. O enunciado nos dá a base padrão e define o produto interno como . Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar vetores e garantir que eles sejam ortogonais com base nesse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre dois vetores diferentes é zero) e se cada vetor tem norma 1 (ou seja, o produto interno de um vetor consigo mesmo é 1).

Passo 3

Dado que já temos uma base padrão , vamos verificar se esses vetores são ortogonais sob o produto interno fornecido. Calculando o produto interno entre vetores diferentes:
Então, os vetores são ortogonais entre si. Agora, precisamos normalizar cada vetor para que sua norma seja 1.

Passo 4

A norma de um vetor no espaço com o produto interno dado é . Vamos calcular a norma de cada vetor da base padrão:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma:
Para :
Para :
Para :

Resposta

A base ortonormal é composta pelos vetores

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Considere em o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno.
Determine: a transposta da matriz:
Se A é uma matriz inversível que satisfaz , então, qual será o valor do determinante de A ?
Sejam e matrizes de . Define-se
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base .