Considere em R^3 o produto interno
lang<=(x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)rang<==x cdot x^prime+5 y cdot y^prime+2 z cdot z^prime
A partir da base (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ache uma base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal no espaço tridimensional usando um produto interno específico. O enunciado nos dá a base padrão e define o produto interno como . Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar vetores e garantir que eles sejam ortogonais com base nesse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre dois vetores diferentes é zero) e se cada vetor tem norma 1 (ou seja, o produto interno de um vetor consigo mesmo é 1).

Passo 3

Dado que já temos uma base padrão lang<= (1,0,0), (0,1,0) rang<= = 1 cdot 0 + 5 cdot 0 + 2 cdot 0 = 0 , vamos verificar se esses vetores são ortogonais sob o produto interno fornecido. Calculando o produto interno entre vetores diferentes:
lang<= (1,0,0), (0,0,1) rang<= = 1 cdot 0 + 5 cdot 0 + 2 cdot 0 = 0
lang<= (0,1,0), (0,0,1) rang<= = 0 cdot 0 + 5 cdot 0 + 2 cdot 0 = 0
Então, os vetores são ortogonais entre si. Agora, precisamos normalizar cada vetor para que sua norma seja 1.

Passo 4

A norma de um vetor |e1| = raizlang<= e1, e1 rang<= = raiz1 cdot 1 + 5 cdot 0 + 2 cdot 0 = raiz1 = 1 no espaço com o produto interno dado é |e2| = raizlang<= e2, e2 rang<= = raiz0 cdot 0 + 5 cdot 1 + 2 cdot 0 = raiz5 . Vamos calcular a norma de cada vetor da base padrão:
Para |e3| = raizlang<= e3, e3 rang<= = raiz0 cdot 0 + 5 cdot 0 + 2 cdot 1 = raiz2 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma:
Para u1 = e1|e1| = (1,0,0)1 = (1,0,0) :
u2 = e2|e2| = (0,1,0)raiz5 = (0, 1raiz5, 0)
Para u3 = e3|e3| = (0,0,1)raiz2 = (0, 0, 1raiz2) :
Para :

Resposta

A base ortonormal é composta pelos vetores
, (1,,0,,0),; (0,; dfrac1raiz5,;0),; (0,;0,; dfrac1raiz2,) ,

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