Seja
o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em
Considere
o subespaço de
gerado pelos vetores
e
.
é um produto interno?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é um produto interno no espaço
, que é o conjunto de todas as funções polinomiais reais de grau no máximo dois. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um produto interno e checar se essa função atende a essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em matemática, mais especificamente em espaços vetoriais, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores (ou funções, no nosso caso) para obter um número real que satisfaça algumas propriedades importantes. As principais propriedades que precisamos verificar são:
- Simetria:
- Linearidade:
para escalares e - Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
Simetria: Vamos ver se
.
Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade: Precisamos verificar se a função é linear em cada argumento. Vamos considerar constantes
e
e funções
.
Assim, a linearidade também está garantida.
Passo 5
Positividade: Vamos verificar se
e que
implica que
.
Como
é sempre não negativo, a integral também será não negativa. Além disso, a integral será zero somente se
para todo
no intervalo
, o que significa que
para todo
nesse intervalo. Portanto, a positividade está atendida.
Resposta
Sim,
é um produto interno no espaço
, pois satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade necessárias.