Seja o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em
Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
é um produto interno?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é um produto interno no espaço , que é o conjunto de todas as funções polinomiais reais de grau no máximo dois. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um produto interno e checar se essa função atende a essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em matemática, mais especificamente em espaços vetoriais, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores (ou funções, no nosso caso) para obter um número real que satisfaça algumas propriedades importantes. As principais propriedades que precisamos verificar são:
  1. Simetria:
  2. Linearidade: para escalares e
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Simetria: Vamos ver se .
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade: Precisamos verificar se a função é linear em cada argumento. Vamos considerar constantes e e funções .
Assim, a linearidade também está garantida.

Passo 5

Positividade: Vamos verificar se e que implica que .
Como é sempre não negativo, a integral também será não negativa. Além disso, a integral será zero somente se para todo no intervalo , o que significa que para todo nesse intervalo. Portanto, a positividade está atendida.

Resposta

Sim, é um produto interno no espaço , pois satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade necessárias.

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Uma loja vende um certo componente eletrônico que é fabricado por 3 marcas diferentes ( e c). Foi feito um levantamento sobre as vendas desse componente durante 3 dias consecutivos que revelou que:
a) No primeiro dia, foram vendidos 2 componentes da marca a, 1 componente da marca b e 1 da marca c, num total de R$ 150,00 vendidos;
b) No segundo dia, foram vendidos 4 componentes de a. 3 da marca b e nenhum da marca c, totalizando R ;
c) No terceiro dia, não houve vendas da marca a, foram vendidos 5 de b e 3 de c, totalizando .
Construa o sistema linear e encontre o valor do componente produzido por a, b e c. Fique a vontade para escolher o método de resolução de sua preferência dentre os estudados, mas uma dica é usar a Regra de Cramer.
Determine o ângulo entre os vetores e e diga se eles são ou não ortogonais e porque.
Determine: a transposta da matriz:
Considere em o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno.