Seja P2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em P2
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(t) cdot g(t) d t
Considere W o subespaço de P2 gerado pelos vetores p(t)=1 e q(t)=1-t.
lang<= f, grang<= é um produto interno?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é um produto interno no espaço , que é o conjunto de todas as funções polinomiais reais de grau no máximo dois. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um produto interno e checar se essa função atende a essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em matemática, mais especificamente em espaços vetoriais, um produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores (ou funções, no nosso caso) para obter um número real que satisfaça algumas propriedades importantes. As principais propriedades que precisamos verificar são:
  1. Simetria:
  2. Linearidade: para escalares e
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Simetria: Vamos ver se lang<= f, g rang<= = integral-1^1 f(t) cdot g(t) , dt = integral-1^1 g(t) cdot f(t) , dt = lang<= g, f rang<= .
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade: Precisamos verificar se a função é linear em cada argumento. Vamos considerar constantes lang<= af + bg, h rang<= = integral-1^1 (af(t) + bg(t)) cdot h(t) , dt = aintegral-1^1 f(t)h(t) , dt + bintegral-1^1 g(t)h(t) , dt = alang<= f, h rang<= + blang<= g, h rang<= e e funções .
Assim, a linearidade também está garantida.

Passo 5

Positividade: Vamos verificar se lang<= f, f rang<= = integral-1^1 f(t)^2 , dt e que implica que .
Como é sempre não negativo, a integral também será não negativa. Além disso, a integral será zero somente se para todo no intervalo , o que significa que para todo nesse intervalo. Portanto, a positividade está atendida.

Resposta

Sim, é um produto interno no espaço , pois satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade necessárias.

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