Sejam A e B matrizes de M(2,2). Define-se
lang<=A, Brang<==Tr(B^t cdot A)
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base (ll1 & 0 0 & 1),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 0 1 & 1),(ll1 & 1 1 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base ortonormal para o espaço das matrizes 2x2, usando um produto interno específico. A base inicial que temos é formada por quatro matrizes dadas. Para resolver isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Vamos precisar calcular traços, transpostas e produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno definido no exercício:
lang<=A, Brang<= = Tr(B^t cdot A)
Aqui, representa o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. é a transposta da matriz . Esse produto interno nos ajuda a medir o “ângulo” e o “tamanho” das matrizes no espaço.

Passo 3

Vamos listar as matrizes da base inicial:
M1 = 1 & 0 0 & 1, M2 = 1 & 1 0 & 0, M3 = 1 & 0 1 & 1, M4 = 1 & 1 1 & 1
Nosso objetivo é aplicar o processo de Gram-Schmidt nessas matrizes para torná-las ortonormais.

Passo 4

Começamos com a primeira matriz |M1| = raizlang<=M1, M1rang<= = raizTr(M1^t cdot M1) . Para torná-la ortonormal, precisamos que seu produto interno consigo mesma seja 1:
M1^t cdot M1 = 1 & 0 0 & 1 cdot 1 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1
Calculando:
Tr(M1^t cdot M1) = 1 + 1 = 2
Então:
E1 = 1raiz2 M1 = 1raiz2 1 & 0 0 & 1
Para normalizar :

Passo 5

Agora, vamos ortogonalizar U2 = M2 - lang<=E1, M2rang<= E1 em relação a lang<=E1, M2rang<= = Tr(E1^t cdot M2) = Tr(1raiz2 1 & 0 0 & 1 cdot 1 & 1 0 & 0) = 1raiz2 (1 + 0) = 1raiz2 :
U2 = 1 & 1 0 & 0 - 1raiz2 cdot 1raiz2 1 & 0 0 & 1 = 1 - 12 & 1 0 & -12 = 12 & 1 0 & -12
Calculando o produto interno:
|U2| = raizlang<=U2, U2rang<= = raizTr(U2^t cdot U2) = raiz(12)^2 + 1^2 + 0^2 + (-12)^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz62
Então:
E2 = U2|U2| = 2raiz6 12 & 1 0 & -12 = 1raiz6 1 & 2 0 & -1
Agora, normalizamos :
Então:

Passo 6

Vamos ortogonalizar a terceira matriz U3 = M3 - lang<=E1, M3rang<= E1 - lang<=E2, M3rang<= E2 em relação a lang<=E1, M3rang<= = Tr(E1^t cdot M3) = Tr(1raiz2 1 & 0 0 & 1 cdot 1 & 0 1 & 1) = 1raiz2 (1 + 1) = 2raiz2 = raiz2 e lang<=E2, M3rang<= = Tr(E2^t cdot M3) = Tr(1raiz6 1 & 0 2 & -1 cdot 1 & 0 1 & 1) = 1raiz6 (1 cdot 1 + (-1) cdot 1) = 0raiz6 = 0 :
U3 = 1 & 0 1 & 1 - raiz2 cdot 1raiz2 1 & 0 0 & 1 - 0 cdot E2 = 1 - 1 & 0 1 & 1 - 1 = 0 & 0 1 & 0
Primeiro, calculamos |U3| = raizlang<=U3, U3rang<= = raizTr(U3^t cdot U3) = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 :
E3 = U3 = 0 & 0 1 & 0
Agora, :
Então:
Normalizando :
Então:

Passo 7

Por fim, vamos ortogonalizar a quarta matriz U4 = M4 - lang<=E1, M4rang<= E1 - lang<=E2, M4rang<= E2 - lang<=E3, M4rang<= E3 em relação a lang<=E1, M4rang<= = Tr(E1^t cdot M4) = Tr(1raiz2 1 & 0 0 & 1 cdot 1 & 1 1 & 1) = 1raiz2 (1 + 1) = 2raiz2 = raiz2 , lang<=E2, M4rang<= = Tr(E2^t cdot M4) = Tr(1raiz6 1 & 2 0 & -1 cdot 1 & 1 1 & 1) = 1raiz6 (1 cdot 1 + 2 cdot 1) + 1raiz6 (0 cdot 1 + (-1) cdot 1) = 3 -1raiz6 = 2raiz6 e lang<=E3, M4rang<= = Tr(E3^t cdot M4) = Tr( 0 & 1 0 & 0 cdot 1 & 1 1 & 1 ) = Tr1 & 1 0 & 0 = 1 :
U4 = 1 & 1 1 & 1 - raiz2 cdot 1raiz2 1 & 0 0 & 1 - 2raiz6 cdot 1raiz6 1 & 2 0 & -1 - 1 cdot 0 & 0 1 & 0
Calculando cada produto interno:
U4 = 1 & 1 1 & 1 - 1 & 0 0 & 1 - 26 1 & 2 0 & -1 - 0 & 0 1 & 0 = 0 & 1 1 & 0 - 13 1 & 2 0 & -1 - 0 & 0 1 & 0
= 0 & 1 1 & 0 - 13 & 23 0 & -13 - 0 & 0 1 & 0 = -13 & 13 0 & 13 - 0 & 0 1 & 0 = -13 & 13 -1 & 13
Então:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos normalizar |U4| = raizlang<=U4, U4rang<= = raizTr(U4^t cdot U4) = raiz(-13)^2 + (-1)^2 + (13)^2 + (13)^2 = raiz19 + 1 + 19 + 19 = raiz43 = 2raiz3 :
E4 = U4|U4| = raiz32 -13 & 13 -1 & 13 = -raiz36 & raiz36 -raiz32 & raiz36
Então:

Resposta

A base ortonormal segundo o produto interno dado é:
E1 = 1raiz2 1 & 0 0 & 1, E2 = 1raiz6 1 & 2 0 & -1, E3 = 0 & 0 1 & 0, E4 = -raiz36 & raiz36 -raiz32 & raiz36

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