Sejam
e
matrizes de
. Define-se
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base ortonormal para o espaço das matrizes 2x2, usando um produto interno específico. A base inicial que temos é formada por quatro matrizes dadas. Para resolver isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Vamos precisar calcular traços, transpostas e produtos de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno definido no exercício:
Aqui,
representa o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.
é a transposta da matriz
. Esse produto interno nos ajuda a medir o “ângulo” e o “tamanho” das matrizes no espaço.
Passo 3
Vamos listar as matrizes da base inicial:
Nosso objetivo é aplicar o processo de Gram-Schmidt nessas matrizes para torná-las ortonormais.
Passo 4
Começamos com a primeira matriz
. Para torná-la ortonormal, precisamos que seu produto interno consigo mesma seja 1:
Calculando:
Então:
Para normalizar
:
Passo 5
Agora, vamos ortogonalizar
em relação a
:
Calculando o produto interno:
Então:
Agora, normalizamos
:
Então:
Passo 6
Vamos ortogonalizar a terceira matriz
em relação a
e
:
Primeiro, calculamos
:
Agora,
:
Então:
Normalizando
:
Então:
Passo 7
Por fim, vamos ortogonalizar a quarta matriz
em relação a
,
e
:
Calculando cada produto interno:
Então:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos normalizar
:
Então:
Resposta
A base ortonormal segundo o produto interno dado é:
Exercícios relacionados
Se A é uma matriz
inversível que satisfaz
, então, qual será o valor do determinante de A ?
Considere em
o produto interno
A partir da base
ache uma base ortonormal.
Seja
e
. Determine o vetor unitário
, tal que u seja ortogonal a v e u seja ortogonal também a w.
- Sabendo que
e são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BAC.