Sejam e matrizes de . Define-se
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base ortonormal para o espaço das matrizes 2x2, usando um produto interno específico. A base inicial que temos é formada por quatro matrizes dadas. Para resolver isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Vamos precisar calcular traços, transpostas e produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno definido no exercício:
Aqui, representa o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. é a transposta da matriz . Esse produto interno nos ajuda a medir o “ângulo” e o “tamanho” das matrizes no espaço.

Passo 3

Vamos listar as matrizes da base inicial:
Nosso objetivo é aplicar o processo de Gram-Schmidt nessas matrizes para torná-las ortonormais.

Passo 4

Começamos com a primeira matriz . Para torná-la ortonormal, precisamos que seu produto interno consigo mesma seja 1:
Calculando:
Então:
Para normalizar :

Passo 5

Agora, vamos ortogonalizar em relação a :
Calculando o produto interno:
Então:
Agora, normalizamos :
Então:

Passo 6

Vamos ortogonalizar a terceira matriz em relação a e :
Primeiro, calculamos :
Agora, :
Então:
Normalizando :
Então:

Passo 7

Por fim, vamos ortogonalizar a quarta matriz em relação a , e :
Calculando cada produto interno:
Então:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos normalizar :
Então:

Resposta

A base ortonormal segundo o produto interno dado é:

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