Considere R^2 com o produto interno usual. Determine o ângulo entre os vetores:
a. (10,-3) e (3,10);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores (10,-3) e (3,10) no espaço R^2 usando o produto interno. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o produto interno dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles, além de saber calcular a norma de cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores no R^2. Se tivermos dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2), o produto interno é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno dos vetores (10,-3) e (3,10):
u cdot v = (10)(3) + (-3)(10) = 30 - 30 = 0
O produto interno deu zero!

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor u = (u1, u2) é calculada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Vamos calcular as normas dos dois vetores.

Passo 5

Calculando a norma do primeiro vetor (10,-3):
|u| = raiz10^2 + (-3)^2 = raiz100 + 9 = raiz109 approx 10,44
E a norma do segundo vetor (3,10):
|v| = raiz3^2 + 10^2 = raiz9 + 100 = raiz109 approx 10,44

Passo 6

Agora vamos usar a fórmula que relaciona o produto interno com o cosseno do ângulo entre os vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 010,44 times 10,44 = 0109 = 0

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arccos:
theta = arccos(0) = 90^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores (10,-3) e (3,10) é de 90^circ.

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