Considere
com o produto interno usual. Determine o ângulo entre os vetores:
a.
e
;
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores
e
no espaço
usando o produto interno. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o produto interno dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles, além de saber calcular a norma de cada vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores no
. Se tivermos dois vetores
e
, o produto interno é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno dos vetores
e
:
O produto interno deu zero!
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor
é calculada por:
Vamos calcular as normas dos dois vetores.
Passo 5
Calculando a norma do primeiro vetor
:
E a norma do segundo vetor
:
Passo 6
Agora vamos usar a fórmula que relaciona o produto interno com o cosseno do ângulo entre os vetores:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arccos:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é de
.