Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal, em relação ao produto interno canônico, a partir da base dada.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o processo de Gram-Schmidt para transformar a base que foi dada, , em uma base ortonormal. Isso significa que vamos criar vetores que sejam todos perpendiculares entre si e que cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto interno e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o processo de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma base qualquer e transformá-la em uma base ortogonal (ou seja, com vetores perpendiculares) e depois em uma base ortonormal (vetores perpendiculares e de comprimento 1).
Os passos são basicamente:
Escolher o primeiro vetor e normalizá-lo.
Tornar o segundo vetor perpendicular ao primeiro e depois normalizá-lo.
Tornar o terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros e depois normalizá-lo.
E assim por diante para mais vetores, se houver.
Vamos começar com o primeiro vetor da base : .
Passo 3
Passo 1: Normalizar o primeiro vetor.
Primeiro, vamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor :
Agora, para normalizar , dividimos cada componente por :
Agora temos o primeiro vetor da nossa base ortonormal: .
Passo 4
Passo 2: Tornar o segundo vetor perpendicular ao primeiro e normalizá-lo.
O segundo vetor da base é .
Primeiro, vamos calcular a projeção de em :
Calculando o produto interno :
Como é normalizado, . Então:
Agora, vamos subtrair essa projeção do para obter um vetor perpendicular a :
Agora, vamos normalizar :
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:
Passo 5
Passo 3: Tornar o terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros e normalizá-lo.
O terceiro vetor da base é .
Primeiro, vamos calcular as projeções de em e :
Então,
Agora, a projeção em :
Calculando :
Então,
Agora, subtraímos as projeções de :
Calculando cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Então,
Agora, vamos normalizar :
Então, o terceiro vetor da base ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal obtida através do processo de Gram-Schmidt é: