Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal, em relação ao produto interno canônico, a partir da base dada.
c. B=(1,1,0),(1,01),(0,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o processo de Gram-Schmidt para transformar a base que foi dada, B=(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0), em uma base ortonormal. Isso significa que vamos criar vetores que sejam todos perpendiculares entre si e que cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto interno e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o processo de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma base qualquer e transformá-la em uma base ortogonal (ou seja, com vetores perpendiculares) e depois em uma base ortonormal (vetores perpendiculares e de comprimento 1).
Os passos são basicamente:
  1. Escolher o primeiro vetor e normalizá-lo.
  2. Tornar o segundo vetor perpendicular ao primeiro e depois normalizá-lo.
  3. Tornar o terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros e depois normalizá-lo.
  4. E assim por diante para mais vetores, se houver.
Vamos começar com o primeiro vetor da base B: v1 = (1,1,0).

Passo 3

Passo 1: Normalizar o primeiro vetor.
Primeiro, vamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor v1:
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Agora, para normalizar v1, dividimos cada componente por |v1|:
u1 = v1|v1| = ( 1raiz2, 1raiz2, 0 )
Agora temos o primeiro vetor da nossa base ortonormal: u1.

Passo 4

Passo 2: Tornar o segundo vetor perpendicular ao primeiro e normalizá-lo.
O segundo vetor da base é v2 = (1,0,1).
Primeiro, vamos calcular a projeção de v2 em u1:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando o produto interno v2 cdot u1:
v2 cdot u1 = 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 = 1raiz2 + 0 + 0 = 1raiz2
Como u1 é normalizado, u1 cdot u1 = 1. Então:
proju1 v2 = 1raiz2 cdot u1 = 1raiz2 ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ) = ( 12, 12, 0 )
Agora, vamos subtrair essa projeção do v2 para obter um vetor perpendicular a u1:
w2 = v2 - proju1 v2 = (1 - 12, 0 - 12, 1 - 0) = ( 12, -12, 1 )
Agora, vamos normalizar w2:
|w2| = raiz(12)^2 + (-12)^2 + 1^2 = raiz14 + 14 + 1 = raiz24 + 1 = raiz12 + 1 = raiz32 = raiz62
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:
u2 = w2|w2| = 1raiz62 ( 12, -12, 1 ) = 2raiz6 ( 12, -12, 1 ) = ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 )

Passo 5

Passo 3: Tornar o terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros e normalizá-lo.
O terceiro vetor da base é v3 = (0,2,0).
Primeiro, vamos calcular as projeções de v3 em u1 e u2:
proju1 v3 = (v3 cdot u1) u1
v3 cdot u1 = 0 cdot 1raiz2 + 2 cdot 1raiz2 + 0 cdot 0 = 2raiz2 = raiz2
Então,
proju1 v3 = raiz2 cdot u1 = raiz2 ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ) = (1, 1, 0)
Agora, a projeção em u2:
proju2 v3 = (v3 cdot u2) u2
Calculando v3 cdot u2:
v3 cdot u2 = 0 cdot 1raiz6 + 2 cdot (-1raiz6) + 0 cdot 2raiz6 = -2raiz6
Então,
proju2 v3 = -2raiz6 cdot u2 = -2raiz6 ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 ) = ( -26, 26, -46 ) = ( -13, 13, -23 )
Agora, subtraímos as projeções de v3:
w3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 = (0, 2, 0) - (1, 1, 0) - ( -13, 13, -23 )
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente: 0 - 1 - (-13) = -1 + 13 = -23
  • Segundo componente: 2 - 1 - 13 = 1 - 13 = 23
  • Terceiro componente: 0 - 0 - (-23) = 23
Então,
w3 = ( -23, 23, 23 )
Agora, vamos normalizar w3:
|w3| = raiz(-23)^2 + (23)^2 + (23)^2 = raiz49 + 49 + 49 = raiz129 = raiz43 = 2raiz3
Então, o terceiro vetor da base ortonormal é:
u3 = w3|w3| = 12raiz3 ( -23, 23, 23 ) = raiz32 ( -23, 23, 23 ) = ( -raiz33, raiz33, raiz33 )

Resposta

A base ortonormal obtida através do processo de Gram-Schmidt é:
Bortonormal = ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ), ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 ), ( -raiz33, raiz33, raiz33 )

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