Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal, em relação ao produto interno canônico, a partir da base dada.
c.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o processo de Gram-Schmidt para transformar a base que foi dada,
, em uma base ortonormal. Isso significa que vamos criar vetores que sejam todos perpendiculares entre si e que cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto interno e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o processo de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma base qualquer e transformá-la em uma base ortogonal (ou seja, com vetores perpendiculares) e depois em uma base ortonormal (vetores perpendiculares e de comprimento 1).
Os passos são basicamente:
- Escolher o primeiro vetor e normalizá-lo.
- Tornar o segundo vetor perpendicular ao primeiro e depois normalizá-lo.
- Tornar o terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros e depois normalizá-lo.
- E assim por diante para mais vetores, se houver.
Vamos começar com o primeiro vetor da base
:
.
Passo 3
Passo 1: Normalizar o primeiro vetor.
Primeiro, vamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor
:
Agora, para normalizar
, dividimos cada componente por
:
Agora temos o primeiro vetor da nossa base ortonormal:
.
Passo 4
Passo 2: Tornar o segundo vetor perpendicular ao primeiro e normalizá-lo.
O segundo vetor da base é
.
Primeiro, vamos calcular a projeção de
em
:
Calculando o produto interno
:
Como
é normalizado,
. Então:
Agora, vamos subtrair essa projeção do
para obter um vetor perpendicular a
:
Agora, vamos normalizar
:
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:
Passo 5
Passo 3: Tornar o terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros e normalizá-lo.
O terceiro vetor da base é
.
Primeiro, vamos calcular as projeções de
em
e
:
Então,
Agora, a projeção em
:
Calculando
:
Então,
Agora, subtraímos as projeções de
:
Calculando cada componente:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
Então,
Agora, vamos normalizar
:
Então, o terceiro vetor da base ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal obtida através do processo de Gram-Schmidt é: