Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
a x + y + z = 0 x + 2 y + z = 0 x + y + z = 0
O objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas. Se o determinante for diferente de zero, o sistema terá uma única solução.
Passo 2
Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Cada linha da matriz corresponde aos coeficientes das incógnitas A = a & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 1 , e em cada equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(2 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - 2 cdot 1) . O determinante de uma matriz det(A) = a + 0 - 1 = a - 1 é dado por:
Vamos calcular cada parte:
Somando todas as partes:
Passo 4
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero:
a - 1 neq 0
Resolvendo essa inequação:
a neq 1
Resposta
O valor de deve ser diferente de 1 para que o sistema tenha uma única solução. Ou seja, .