Encontre uma matriz quadrada de ordem 2 não nula cujo quadrado seja a matriz nula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz quadrada de ordem 2 que não seja zero, mas que, quando multiplicada por ela mesma, dê a matriz nula. Esse tipo de matriz é chamada de matriz nilpotente. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender um pouco sobre propriedades das matrizes nilpotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma matriz quadrada de ordem 2. Isso quer dizer que a matriz tem 2 linhas e 2 colunas, ou seja, é uma matriz 2x2. Vamos representar essa matriz como:
Passo 3
Queremos que essa matriz não seja a matriz nula, ou seja, pelo menos um dos elementos ou deve ser diferente de zero. Além disso, quando multiplicarmos por ela mesma (), o resultado deve ser a matriz nula:
Passo 4
Vamos fazer a multiplicação das matrizes :
Queremos que cada elemento dessa matriz resultante seja zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos simplificar essas equações. Observando as equações 2 e 3:
Da equação 2:
Da equação 3:
Isso nos dá duas possibilidades:
e
Vamos explorar a segunda possibilidade, onde , ou seja, .
Passo 6
Substituindo nas outras equações:
Note que as duas equações são iguais, então basta resolver uma delas:
Isso nos mostra que escolhendo valores para e que satisfaçam essa equação, podemos construir a matriz desejada.
Passo 7
Vamos escolher para simplificar. Então, a equação se torna .
Para que a matriz não seja nula, pelo menos um dos elementos ou deve ser diferente de zero. Vamos escolher e .