Encontre uma matriz quadrada de ordem 2 não nula cujo quadrado seja a matriz nula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz quadrada de ordem 2 que não seja zero, mas que, quando multiplicada por ela mesma, dê a matriz nula. Esse tipo de matriz é chamada de matriz nilpotente. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender um pouco sobre propriedades das matrizes nilpotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma matriz quadrada de ordem 2. Isso quer dizer que a matriz tem 2 linhas e 2 colunas, ou seja, é uma matriz 2x2. Vamos representar essa matriz como:
Passo 3
Queremos que essa matriz não seja a matriz nula, ou seja, pelo menos um dos elementos
ou
deve ser diferente de zero. Além disso, quando multiplicarmos
por ela mesma (
), o resultado deve ser a matriz nula:
Passo 4
Vamos fazer a multiplicação das matrizes
:
Queremos que cada elemento dessa matriz resultante seja zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos simplificar essas equações. Observando as equações 2 e 3:
- Da equação 2:
- Da equação 3:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
e -
Vamos explorar a segunda possibilidade, onde
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo
nas outras equações:
Note que as duas equações são iguais, então basta resolver uma delas:
Isso nos mostra que escolhendo valores para
e
que satisfaçam essa equação, podemos construir a matriz desejada.
Passo 7
Vamos escolher
para simplificar. Então, a equação
se torna
.
Para que a matriz não seja nula, pelo menos um dos elementos
ou
deve ser diferente de zero. Vamos escolher
e
.
Então, temos:
Passo 8
Com esses valores, a matriz fica:
Vamos verificar se
é realmente a matriz nula:
$$
A^2 = A \cdot A =
\cdot
$$
Resposta
Uma matriz que satisfaz as condições é: