Encontre uma matriz quadrada de ordem 2 não nula cujo quadrado seja a matriz nula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz quadrada de ordem 2 que não seja zero, mas que, quando multiplicada por ela mesma, dê a matriz nula. Esse tipo de matriz é chamada de matriz nilpotente. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender um pouco sobre propriedades das matrizes nilpotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma matriz quadrada de ordem 2. Isso quer dizer que a matriz tem 2 linhas e 2 colunas, ou seja, é uma matriz 2x2. Vamos representar essa matriz como:
A = a & b c & d

Passo 3

Queremos que essa matriz não seja a matriz nula, ou seja, pelo menos um dos elementos A^2 = A cdot A = 0 & 0 0 & 0 ou deve ser diferente de zero. Além disso, quando multiplicarmos por ela mesma ( ), o resultado deve ser a matriz nula:

Passo 4

Vamos fazer a multiplicação das matrizes A cdot A = a cdot a + b cdot c & a cdot b + b cdot d c cdot a + d cdot c & c cdot b + d cdot d :
Queremos que cada elemento dessa matriz resultante seja zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos simplificar essas equações. Observando as equações 2 e 3:
  • Da equação 2:
  • Da equação 3:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. e
Vamos explorar a segunda possibilidade, onde , ou seja, .

Passo 6

Substituindo nas outras equações:
Note que as duas equações são iguais, então basta resolver uma delas:
Isso nos mostra que escolhendo valores para e que satisfaçam essa equação, podemos construir a matriz desejada.

Passo 7

Vamos escolher para simplificar. Então, a equação se torna .
Para que a matriz não seja nula, pelo menos um dos elementos ou deve ser diferente de zero. Vamos escolher e .
Então, temos:
, , , .

Passo 8

Com esses valores, a matriz fica:
A = 0 & 1 0 & 0
Vamos verificar se A^2 = A cdot A = 0 & 1 0 & 0 cdot 0 & 1 0 & 0 = 0 cdot 0 + 1 cdot 0 & 0 cdot 1 + 1 cdot 0 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0 & 0 0 & 0 é realmente a matriz nula:

$$
A^2 = A \cdot A =
\cdot

$$

Resposta

Uma matriz que satisfaz as condições é:
A = 0 & 1 0 & 0

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