Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de . Justifique com argumentos matemáticos.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto forma uma base de . Para isso, vamos precisar entender sobre bases, espalhamento e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de é um conjunto de 4 vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Então, nosso objetivo é verificar essas duas propriedades para o conjunto dado.
Passo 3
A melhor maneira de verificar se os vetores são linearmente independentes é montar uma matriz com esses vetores como linhas e ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Se for, eles são independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 4
Vamos montar a matriz:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Calculando cada determinante menor, percebemos que todos acabam sendo zero, então o determinante total é zero.
Passo 6
Como o determinante da matriz é zero, isso significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não conseguem gerar todo o espaço R^4 de forma independente.
Resposta
O conjunto (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)não forma uma base de R^4 porque os vetores não são linearmente independentes.