Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de R^4. Justifique com argumentos matemáticos.
b) (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0) forma uma base de R^4. Para isso, vamos precisar entender sobre bases, espalhamento e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de R^4 é um conjunto de 4 vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^4. Então, nosso objetivo é verificar essas duas propriedades para o conjunto dado.

Passo 3

A melhor maneira de verificar se os vetores são linearmente independentes é montar uma matriz com esses vetores como linhas e ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Se for, eles são independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 4

Vamos montar a matriz:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos calcular passo a passo:
det = 1 cdot 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 - 1 cdot 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 + 1 cdot 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 - 1 cdot 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0
Calculando cada determinante menor, percebemos que todos acabam sendo zero, então o determinante total é zero.

Passo 6

Como o determinante da matriz é zero, isso significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não conseguem gerar todo o espaço R^4 de forma independente.

Resposta

O conjunto (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0) não forma uma base de R^4 porque os vetores não são linearmente independentes.

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