Seja
. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer saber quais dos conjuntos listados são subespaços de
. Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: ele tem que conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar. Então, vamos aplicar esses conceitos para cada parte do exercício.
Passo 2
Parte a)
:
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero é
, e ele satisfaz
, então está ok.
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores em
, digamos
e
, onde
e
, a soma seria
. Precisamos que
, o que normalmente acontece, mas vamos testar com um exemplo.
Por exemplo, considere
e
. Ambos estão em
, mas a soma é
, que também está em
. Parece bom, mas vamos verificar a multiplicação por escalar.
Se multiplicarmos
por
, teremos
. Agora,
não é verdadeiro, pois
não é menor ou igual a
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Parte b)
:
Primeiro, o vetor zero
satisfaz
, então está em
.
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos
e
em
, então
e
. A soma será
, e somando os componentes:
. Então, está fechado sob adição.
Por fim, a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos
por um escalar
, temos
, e a soma fica
. Então, também está fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Parte c)
:
Primeiro, o vetor zero
está em
porque
.
Vamos checar a adição. Tome dois vetores em
, por exemplo,
e
. Ambos satisfazem
. Mas a soma deles é
, e
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Mesmo sem checar a multiplicação por escalar, já sabemos que
não é um subespaço.
Resposta
A única opção que é um subespaço de
é a parte b), onde
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
vetores em
. Quais dos vetores
e
são combinações lineares dos vetores
e
?
Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Prove que
é um subespaço de
.
Considere em
o produto interno usual e seja
(i) Determine uma base ortonormal de S .
(ii) Dado , encontre vetores
e
tais que
.
(ii) Dado
Fazendo uso do produto interno usual em
. Calcule o produto interno entre os vetores
.