Seja . Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de ?
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer saber quais dos conjuntos listados são subespaços de . Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: ele tem que conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar. Então, vamos aplicar esses conceitos para cada parte do exercício.

Passo 2

Parte a) :
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero é , e ele satisfaz , então está ok.
Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores em , digamos e , onde e , a soma seria . Precisamos que , o que normalmente acontece, mas vamos testar com um exemplo.
Por exemplo, considere e . Ambos estão em , mas a soma é , que também está em . Parece bom, mas vamos verificar a multiplicação por escalar.
Se multiplicarmos por , teremos . Agora, não é verdadeiro, pois não é menor ou igual a . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Parte b) :
Primeiro, o vetor zero satisfaz , então está em .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos e em , então e . A soma será , e somando os componentes: . Então, está fechado sob adição.
Por fim, a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos por um escalar , temos , e a soma fica . Então, também está fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Parte c) :
Primeiro, o vetor zero está em porque .
Vamos checar a adição. Tome dois vetores em , por exemplo, e . Ambos satisfazem . Mas a soma deles é , e . Portanto, não é fechado sob adição.
Mesmo sem checar a multiplicação por escalar, já sabemos que não é um subespaço.

Resposta

A única opção que é um subespaço de é a parte b), onde .

Exercícios relacionados

Sejam e vetores em . Quais dos vetores e são combinações lineares dos vetores e ?
Seja um espaço vetorial com produto interno . Prove que é um subespaço de .
Considere em o produto interno usual e seja
(i) Determine uma base ortonormal de S .
(ii) Dado , encontre vetores e tais que .
Fazendo uso do produto interno usual em . Calcule o produto interno entre os vetores .