Sejam V=R^3 e u1=(1,1, ? 2), u2=(3,0,4) vetores em V. Quais dos vetores u=(4,-5,9), v= (3,1,-4) e w=(-1,1,0) são combinações lineares dos vetores u1 e u2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional R^3, chamados u1 = (1, 1, -2) e u2 = (3, 0, 4). A pergunta é: quais dos vetores u = (4, -5, 9), v = (3, 1, -4) e w = (-1, 1, 0) podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações para cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Um vetor v é uma combinação linear de u1 e u2 se existirem escalares a e b tais que:
v = a cdot u1 + b cdot u2
Isso significa que precisamos encontrar valores de a e b que satisfaçam essa equação para cada vetor dado.

Passo 3

Vamos começar com o vetor u = (4, -5, 9). Aplicando a combinação linear:
a cdot 1 + b cdot 3 = 4 a cdot 1 + b cdot 0 = -5 a cdot (-2) + b cdot 4 = 9
Esse é um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b). Vamos resolver.

Passo 4

Da segunda equação:
a = -5
Agora, substituímos a = -5 na primeira equação:
-5 + 3b = 4
Resolvendo para b:
3b = 9
b = 3

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
(-5) cdot (-2) + 3 cdot 4 = 10 + 12 = 22
Mas a terceira equação pede que seja igual a 9, então 22 ≠ 9. Isso significa que não existe combinação linear de u1 e u2 que resulte no vetor u = (4, -5, 9).

Passo 6

Agora, vamos verificar o vetor v = (3, 1, -4). Montando o sistema:
a cdot 1 + b cdot 3 = 3 a cdot 1 + b cdot 0 = 1 a cdot (-2) + b cdot 4 = -4
Da segunda equação:
a = 1
Substituindo na primeira equação:
1 + 3b = 3
3b = 2
b = 23

Passo 7

Verificando na terceira equação:
(1) cdot (-2) + (23) cdot 4 = -2 + 83 = -6 + 83 = 23
Queríamos que isso fosse igual a -4, mas 23 neq -4. Portanto, também não existe combinação linear de u1 e u2 que resulte no vetor v = (3, 1, -4).

Passo 8

Por fim, vamos analisar o vetor w = (-1, 1, 0). Montando o sistema:
a cdot 1 + b cdot 3 = -1 a cdot 1 + b cdot 0 = 1 a cdot (-2) + b cdot 4 = 0
Da segunda equação:
a = 1
Substituindo na primeira equação:
1 + 3b = -1
3b = -2
b = -23

Passo 9

Verificando na terceira equação:
(1) cdot (-2) + (-23) cdot 4 = -2 - 83 = -6 - 83 = -143
Precisávamos que fosse 0, mas -143 neq 0. Assim, também não existe combinação linear de u1 e u2 que resulte no vetor w = (-1, 1, 0).

Resposta

Nenhum dos vetores u, v e w é uma combinação linear dos vetores u1 e u2.

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