Sejam e vetores em . Quais dos vetores e são combinações lineares dos vetores e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional , chamados e . A pergunta é: quais dos vetores , e podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações para cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Um vetor é uma combinação linear de e se existirem escalares e tais que:
Isso significa que precisamos encontrar valores de e que satisfaçam essa equação para cada vetor dado.

Passo 3

Vamos começar com o vetor . Aplicando a combinação linear:
Esse é um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver.

Passo 4

Da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses valores de e satisfazem a terceira equação:
Mas a terceira equação pede que seja igual a 9, então 22 ≠ 9. Isso significa que não existe combinação linear de e que resulte no vetor .

Passo 6

Agora, vamos verificar o vetor . Montando o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Verificando na terceira equação:
Queríamos que isso fosse igual a -4, mas . Portanto, também não existe combinação linear de e que resulte no vetor .

Passo 8

Por fim, vamos analisar o vetor . Montando o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 9

Verificando na terceira equação:
Precisávamos que fosse 0, mas . Assim, também não existe combinação linear de e que resulte no vetor .

Resposta

Nenhum dos vetores , e é uma combinação linear dos vetores e .

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a)
b)
c)
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