Sejam e vetores em . Quais dos vetores e são combinações lineares dos vetores e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional , chamados e . A pergunta é: quais dos vetores , e podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações para cada vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Um vetor é uma combinação linear de e se existirem escalares e tais que:
Isso significa que precisamos encontrar valores de e que satisfaçam essa equação para cada vetor dado.
Passo 3
Vamos começar com o vetor . Aplicando a combinação linear:
Esse é um sistema de três equações com duas incógnitas (a e b). Vamos resolver.
Passo 4
Da segunda equação:
a = -5
Agora, substituímos a = -5 na primeira equação:
-5 + 3b = 4
Resolvendo para b:
3b = 9
b = 3
Passo 5
Agora, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
(-5) cdot (-2) + 3 cdot 4 = 10 + 12 = 22
Mas a terceira equação pede que seja igual a 9, então 22 ≠ 9. Isso significa que não existe combinação linear de u1 e u2 que resulte no vetor u = (4, -5, 9).
Passo 6
Agora, vamos verificar o vetor v = (3, 1, -4). Montando o sistema:
a cdot 1 + b cdot 3 = 3 a cdot 1 + b cdot 0 = 1 a cdot (-2) + b cdot 4 = -4