Assinale a alternativa CORRETA:
( ) é soma direta.
( ) é soma direta.
( ) não é soma direta.
( ) é soma direta.
( ) Nenhuma das demais alternativas está correta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos vários conjuntos de vetores e matrizes, e precisamos verificar qual das alternativas sobre soma direta desses conjuntos está correta. O conteúdo aqui envolve espaços vetoriais e a soma direta de subespaços. Para resolver, vamos lembrar que a soma direta de dois subespaços é direta se a única maneira de zero estar na soma é ambos os vetores serem zero. Ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a alternativa ( ) é soma direta. Precisamos verificar se a interseção de e é apenas o vetor zero. Olhando os conjuntos:
Vamos ver se existe algum vetor além de zero que está em ambos.
Passo 3
Agora, vamos para a alternativa ( ) é soma direta. Aqui:
Novamente, precisamos ver se a interseção é apenas o vetor zero.
Passo 4
Seguimos para a alternativa ( ) não é soma direta. Sabemos que:
Aqui, é o conjunto de matrizes simétricas e o de matrizes antissimétricas. Precisamos verificar se a soma não é direta, ou seja, se existe uma matriz que está em ambos os conjuntos além da zero.
Passo 5
Vamos analisar a alternativa ( ) é soma direta. Os conjuntos são:
Checamos se a interseção é apenas o vetor zero.
Passo 6
Por fim, se nenhuma das alternativas anteriores for correta, a última opção será a resposta. Vamos verificar cada caso para concluir qual é a correta.