Consideremos as seguintes afirmações:
(a) R^2=(x, y) mid x, y in R munido com as operações
(x1, y1) oplus(x2, y2) & =(x1+x2, y1+2 y2) a odot(x, y) & =(a x, a y)
é um espaço vetorial sobre R.
(b) W=(x, 2 y, 3 z) mid x, y, z in R é um subespaço vetorial de R^3 quando consideramos este último munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Podemos afirmar que:
( ) As afirmações (a) e (b) são verdadeiras.
( ) Somente a afirmação (a) é verdadeira.
( ) Somente a afirmação (b) é verdadeira.
( ) Nenhuma das afirmações é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me trouxe é sobre espaços vetoriais, que é um tópico da Álgebra Linear. Precisamos analisar duas afirmações para ver se elas descrevem corretamente um espaço vetorial ou um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos básicos como operações de soma e multiplicação por escalar, além de verificar se as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial estão sendo cumpridas.

Passo 2

Vamos começar pela afirmação (a). Ela nos apresenta o conjunto R^2, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Mas as operações de soma e multiplicação por escalar não são as usuais. A soma é definida como:
(x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1+x2, y1+2 y2)
e a multiplicação por escalar é:
a odot (x, y) = (a x, a y)
Precisamos verificar se, com essas operações, R^2 ainda é um espaço vetorial.

Passo 3

Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer oito axiomas, como associatividade, existência do neutro, inverso, distributividade, entre outros. Vamos checar se alguma dessas propriedades falha com as operações dadas.
Por exemplo, consideremos a associatividade da soma:
[(x1, y1) oplus (x2, y2)] oplus (x3, y3) = (x1+x2, y1+2y2) oplus (x3, y3) = (x1+x2+x3, y1+2y2 + 2y3)
por outro lado:
(x1, y1) oplus [(x2, y2) oplus (x3, y3)] = (x1, y1) oplus (x2+x3, y2+2y3) = (x1+x2+x3, y1 + 2(y2+2y3)) = (x1+x2+x3, y1 + 2y2 + 4y3)
Percebemos que y1 + 2y2 + 2y3 neq y1 + 2y2 + 4y3 a menos que y3 = 0, o que não é garantido para todo vetor. Portanto, a associatividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a associatividade da soma falha, podemos concluir que a afirmação (a) é falsa. Isso significa que R^2 com essas operações não forma um espaço vetorial.

Passo 5

Agora vamos para a afirmação (b). O conjunto W = (x, 2y, 3z) mid x, y, z in R está sendo considerado como um subespaço vetorial de R^3 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Para ser um subespaço vetorial, W precisa ser fechado sob soma e multiplicação por escalar e conter o vetor zero.
  • Vetor zero: Se x = y = z = 0, então (0, 0, 0) in W.
  • Fechamento sob soma: Se (x1, 2y1, 3z1) e (x2, 2y2, 3z2) estão em W, então sua soma é (x1+x2, 2y1+2y2, 3z1+3z2) = (x1+x2, 2(y1+y2), 3(z1+z2)), que também está em W.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se a é um escalar e (x, 2y, 3z) in W, então a cdot (x, 2y, 3z) = (a x, 2a y, 3a z), que também está em W.
Como todas essas condições são satisfeitas, W é um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

Somente a afirmação (b) é verdadeira.

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