Considere os seguintes subespaços de
:
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores em
:
O objetivo é mostrar que
. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e span. Vamos mostrar que todo vetor em
também está em
e vice-versa. Isso significa que os espaços são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. Isso quer dizer que qualquer vetor que pode ser formado combinando os vetores de
também pode ser formado combinando os vetores de
.
Vamos pegar os geradores de
, que são
e
, e tentar expressá-los como combinações lineares dos vetores de
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Vamos verificar na equação (3):
Está certo! Então,
pode ser escrita como:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema para
e
.
Passo 6
Multiplicando a equação (4) por 2:
Subtraindo a equação (5) de (4a):
Agora, substituímos
na equação (4):
Vamos verificar na equação (6):
Está tudo certo! Então,
pode ser escrita como:
Passo 7
Com isso, mostramos que os vetores geradores de
estão em
. Portanto, qualquer combinação linear de
e
também estará em
, ou seja,
.
Agora, precisamos mostrar o contrário: que
.
Passo 8
Vamos repetir o processo para os vetores geradores de
,
e
, tentando expressá-los como combinações lineares dos vetores de
,
e
.
Primeiro, para
:
Isso resulta no sistema:
Passo 9
Da equação (8):
Substituindo
na equação (7):
Vamos verificar na equação (9):
Está correto! Então,
Passo 10
Agora, vamos expressar
como combinação linear de
e
:
Isso dá o sistema:
Passo 11
Da equação (11):
Substituindo
na equação (10):
Vamos verificar na equação (12):
Tudo certo! Então,
Passo 12
Assim, mostramos que os vetores geradores de
estão em
. Portanto, qualquer combinação linear de
e
também estará em
, ou seja,
.
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que
.