Considere os seguintes subespaços de R^3 :
W1=[(1,-1,2),(3,0,1)] e W2=[(-1,-2,3),(3,3,-4)]
Mostre que W1=W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores em W1 = span(1, -1, 2), (3, 0, 1) :
W2 = span(-1, -2, 3), (3, 3, -4)
O objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e span. Vamos mostrar que todo vetor em também está em e vice-versa. Isso significa que os espaços são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . Isso quer dizer que qualquer vetor que pode ser formado combinando os vetores de também pode ser formado combinando os vetores de .
Vamos pegar os geradores de , que são e , e tentar expressá-los como combinações lineares dos vetores de , e .

Passo 3

Vamos começar com a(-1, -2, 3) + b(3, 3, -4) = (1, -1, 2) . Queremos encontrar escalares - a + 3b = 1 (1) e -2a + 3b = -1 (2) tais que:
3a - 4b = 2 (3)
Isso resulta no sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Subtraindo a equação (1) da equação (2):
(-2a + 3b) - (-a + 3b) = -1 - 1 implies -a = -2 implies a = 2
Agora, substituímos -2 + 3b = 1 implies 3b = 3 implies b = 1 na equação (1):
3(2) - 4(1) = 6 - 4 = 2
Vamos verificar na equação (3):
v1 = 2w1 + 1w2
Está certo! Então, pode ser escrita como:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para c(-1, -2, 3) + d(3, 3, -4) = (3, 0, 1) . Queremos encontrar - c + 3d = 3 (4) e -2c + 3d = 0 (5) tais que:
3c - 4d = 1 (6)
Isso dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema para e .

Passo 6

Multiplicando a equação (4) por 2:
-2c + 6d = 6 (4a)
Subtraindo a equação (5) de (4a):
(-2c + 6d) - (-2c + 3d) = 6 - 0 implies 3d = 6 implies d = 2
Agora, substituímos - c + 3(2) = 3 implies -c + 6 = 3 implies -c = -3 implies c = 3 na equação (4):
3(3) - 4(2) = 9 - 8 = 1
Vamos verificar na equação (6):
v2 = 3w1 + 2w2
Está tudo certo! Então, pode ser escrita como:

Passo 7

Com isso, mostramos que os vetores geradores de estão em . Portanto, qualquer combinação linear de e também estará em , ou seja, .
Agora, precisamos mostrar o contrário: que .

Passo 8

Vamos repetir o processo para os vetores geradores de a(1, -1, 2) + b(3, 0, 1) = (-1, -2, 3) , a + 3b = -1 (7) e - a + 0b = -2 (8) , tentando expressá-los como combinações lineares dos vetores de 2a + b = 3 (9) , e .
Primeiro, para :
Isso resulta no sistema:

Passo 9

Da equação (8):
- a = -2 implies a = 2
Substituindo 2 + 3b = -1 implies 3b = -3 implies b = -1 na equação (7):
2(2) + (-1) = 4 - 1 = 3
Vamos verificar na equação (9):
w1 = 2v1 - 1v2
Está correto! Então,

Passo 10

Agora, vamos expressar c(1, -1, 2) + d(3, 0, 1) = (3, 3, -4) como combinação linear de c + 3d = 3 (10) e - c + 0d = 3 (11) :
2c + d = -4 (12)
Isso dá o sistema:

Passo 11

Da equação (11):
- c = 3 implies c = -3
Substituindo -3 + 3d = 3 implies 3d = 6 implies d = 2 na equação (10):
2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4
Vamos verificar na equação (12):
w2 = -3v1 + 2v2
Tudo certo! Então,

Passo 12

Assim, mostramos que os vetores geradores de estão em . Portanto, qualquer combinação linear de e também estará em , ou seja, .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que .

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