Justifique geometricamente a seguinte afirmação: Se a matriz que representa uma transformação linear
de
em
tem determinante nulo, então a transformação
não pode ser inversível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente justificar de forma geométrica que se uma transformação linear
de
para
é representada por uma matriz com determinante igual a zero, então essa transformação não pode ter uma inversa. Vamos precisar entender o que é determinante, transformação linear e o que significa uma matriz ser inversível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser visualizada como uma regra que pega vetores do plano e os transforma de alguma maneira, como rotacionar, escalar ou refletir. A matriz que representa essa transformação contém todas as informações sobre como cada vetor está sendo transformado.
Passo 3
O determinante de uma matriz nos dá uma informação importante: ele nos diz o fator pelo qual a área é escalada pela transformação. Se o determinante for diferente de zero, a transformação está “espalhando” o plano de forma que não achate nada — ou seja, a área não desaparece completamente.
Passo 4
Quando o determinante é zero, significa que a transformação está achatando o plano de
de tal forma que toda a área é reduzida a uma linha ou mesmo a um ponto. Geometricamente, isso significa que informações estão sendo perdidas na transformação, já que diferentes vetores podem acabar sendo transformados no mesmo ponto ou na mesma linha.
Passo 5
Para uma transformação ter uma inversa, ela precisa ser bijetora: cada ponto no plano de chegada deve ter exatamente um ponto correspondente no plano de partida. Mas se a transformação está achatando o plano (determinante zero), então vários pontos diferentes podem se tornar o mesmo ponto ou a mesma linha após a transformação. Isso quebra a condição de bijetividade.
Passo 6
Como a transformação não é bijetora quando o determinante é zero, ela não tem uma inversa. Se não conseguimos “desfazer” a transformação para recuperar os vetores originais, então a matriz não é inversível.
Resposta
Portanto, geometricamente, se o determinante da matriz de
é zero, a transformação achata o plano de
, perdendo informações e impedindo que cada ponto tenha um único ponto correspondente na transformação inversa. Assim,
não pode ser inversível.