Justifique geometricamente a seguinte afirmação: Se a matriz que representa uma transformação linear T de R^2 em R^2 tem determinante nulo, então a transformação T não pode ser inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente justificar de forma geométrica que se uma transformação linear de para é representada por uma matriz com determinante igual a zero, então essa transformação não pode ter uma inversa. Vamos precisar entender o que é determinante, transformação linear e o que significa uma matriz ser inversível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser visualizada como uma regra que pega vetores do plano e os transforma de alguma maneira, como rotacionar, escalar ou refletir. A matriz que representa essa transformação contém todas as informações sobre como cada vetor está sendo transformado.

Passo 3

O determinante de uma matriz nos dá uma informação importante: ele nos diz o fator pelo qual a área é escalada pela transformação. Se o determinante for diferente de zero, a transformação está “espalhando” o plano de forma que não achate nada — ou seja, a área não desaparece completamente.

Passo 4

Quando o determinante é zero, significa que a transformação está achatando o plano de de tal forma que toda a área é reduzida a uma linha ou mesmo a um ponto. Geometricamente, isso significa que informações estão sendo perdidas na transformação, já que diferentes vetores podem acabar sendo transformados no mesmo ponto ou na mesma linha.

Passo 5

Para uma transformação ter uma inversa, ela precisa ser bijetora: cada ponto no plano de chegada deve ter exatamente um ponto correspondente no plano de partida. Mas se a transformação está achatando o plano (determinante zero), então vários pontos diferentes podem se tornar o mesmo ponto ou a mesma linha após a transformação. Isso quebra a condição de bijetividade.

Passo 6

Como a transformação não é bijetora quando o determinante é zero, ela não tem uma inversa. Se não conseguimos “desfazer” a transformação para recuperar os vetores originais, então a matriz não é inversível.

Resposta

Portanto, geometricamente, se o determinante da matriz de é zero, a transformação achata o plano de , perdendo informações e impedindo que cada ponto tenha um único ponto correspondente na transformação inversa. Assim, não pode ser inversível.

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