Considere um recipiente de forma cúbica de aresta L cheio de água até a borda. Determine a força devida à pressão hidrostática nas paredes do recipiente até uma profundidade H(H.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre pressão hidrostática. O enunciado fala de um recipiente cúbico com aresta de comprimento , cheio de água até a borda. A missão é descobrir qual é a força causada pela pressão da água nas paredes desse recipiente até uma profundidade (onde ). Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão funciona em líquidos e como calcular a força a partir dessa pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão hidrostática em um líquido é a força por unidade de área exercida pelo líquido. Ela depende da profundidade P = rho cdot g cdot h no líquido, da densidade da água e da aceleração da gravidade . A fórmula da pressão hidrostática é:
Onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a profundidade.

Passo 3

Agora, para encontrar a força total exercida pela pressão nas paredes do recipiente até a profundidade , precisamos integrar essa pressão sobre a área da parede considerada. Como o recipiente é cúbico, a área da parede até a profundidade é .

Passo 4

A força F = integral0^H P cdot L , dh = integral0^H rho cdot g cdot h cdot L , dh pode ser calculada integrando a pressão desde o fundo do recipiente ( ) até a profundidade . A expressão matemática fica assim:
Aqui, é a largura da parede do recipiente, e multiplicamos pela área para obter a força total.

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, tiramos os termos constantes ( F = rho cdot g cdot L integral0^H h , dh , integral h , dh = h^22 + C , e ) de fora da integral:
Agora, a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma força total entre dois limites.

Passo 6

Aplicando os limites de integração ( integral0^H h , dh = [ h^22 ]0^H = H^22 - 0 = H^22 a ):

Passo 7

Substituindo o resultado da integral na expressão da força:
F = rho cdot g cdot L cdot H^22 = 12 rho g L H^2

Resposta

A força devida à pressão hidrostática nas paredes do recipiente até a profundidade F = 12 rho g L H^2 é:

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