Considere um recipiente de forma cúbica de aresta L cheio de água até a borda. Determine a força devida à pressão hidrostática nas paredes do recipiente até uma profundidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre pressão hidrostática. O enunciado fala de um recipiente cúbico com aresta de comprimento
, cheio de água até a borda. A missão é descobrir qual é a força causada pela pressão da água nas paredes desse recipiente até uma profundidade
(onde
). Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão funciona em líquidos e como calcular a força a partir dessa pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão hidrostática em um líquido é a força por unidade de área exercida pelo líquido. Ela depende da profundidade
no líquido, da densidade
da água e da aceleração da gravidade
. A fórmula da pressão hidrostática é:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do líquido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a profundidade.
Passo 3
Agora, para encontrar a força total exercida pela pressão nas paredes do recipiente até a profundidade
, precisamos integrar essa pressão sobre a área da parede considerada. Como o recipiente é cúbico, a área da parede até a profundidade
é
.
Passo 4
A força
pode ser calculada integrando a pressão
desde o fundo do recipiente (
) até a profundidade
. A expressão matemática fica assim:
Aqui,
é a largura da parede do recipiente, e multiplicamos pela área para obter a força total.
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, tiramos os termos constantes (
,
, e
) de fora da integral:
Agora, a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma força total entre dois limites.
Passo 6
Aplicando os limites de integração (
a
):
Passo 7
Substituindo o resultado da integral na expressão da força:
Resposta
A força devida à pressão hidrostática nas paredes do recipiente até a profundidade
é: