Considere a recta r definida por:
. a) Determinar uma equação vectorial do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à recta r .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica. O enunciado pede para encontrar uma equação vetorial do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
definida por
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de um ponto e de um vetor normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta
. A equação da reta está na forma simétrica
, o que nos mostra que o vetor diretor
é
, já que os denominadores correspondem às componentes do vetor.
Passo 3
Como o plano
é perpendicular à reta
, isso significa que o vetor diretor da reta
é normal ao plano. Ou seja, o vetor normal
do plano é
.
Passo 4
A equação vetorial de um plano pode ser escrita usando o vetor normal
e um ponto
que pertence ao plano. A fórmula geral é:
Onde
é o vetor posição genérico
e
é o vetor posição do ponto
.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
e
, a equação fica:
Expandindo:
Passo 6
Simplificando a equação:
Essa é a equação cartesiana do plano. Mas como a gente quer a equação vetorial, podemos escrever de outra forma.
Passo 7
A equação vetorial do plano pode ser escrita como:
Onde
é o ponto
e
,
são vetores diretores do plano. Como o plano é perpendicular à reta
, os vetores
e
devem ser perpendiculares a
.
Passo 8
Podemos escolher dois vetores quaisquer que sejam perpendiculares a
. Por exemplo,
e
. Assim, a equação vetorial fica:
Resposta
A equação vetorial do plano
é:
onde
e
são números reais.
Exercícios relacionados
Determinar o ângulo formado pelas rectas:
e
Determinar a distância entre os planos
e
.
Compor as equações paramétricas do plano
que passa pelo ponto
e é paralelo aos vectores
e
.