Considere a recta r definida por: x-12=y-23=z. a) Determinar uma equação vectorial do plano alpha que passa pelo ponto P(1,2,0) e é perpendicular à recta r .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica. O enunciado pede para encontrar uma equação vetorial do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta definida por . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de um ponto e de um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta . A equação da reta está na forma simétrica , o que nos mostra que o vetor diretor é , já que os denominadores correspondem às componentes do vetor.

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta , isso significa que o vetor diretor da reta é normal ao plano. Ou seja, o vetor normal do plano é .

Passo 4

A equação vetorial de um plano pode ser escrita usando o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e um ponto que pertence ao plano. A fórmula geral é:
Onde é o vetor posição genérico e é o vetor posição do ponto .

Passo 5

Substituindo os valores que temos: 2(x - 1) + 3(y - 2) + 1(z - 0) = 0 e 2x - 2 + 3y - 6 + z = 0 , a equação fica:
Expandindo:

Passo 6

Simplificando a equação:
2x + 3y + z - 8 = 0
Essa é a equação cartesiana do plano. Mas como a gente quer a equação vetorial, podemos escrever de outra forma.

Passo 7

A equação vetorial do plano pode ser escrita como:
r = r0 + su + tv
Onde é o ponto e , são vetores diretores do plano. Como o plano é perpendicular à reta , os vetores e devem ser perpendiculares a .

Passo 8

Podemos escolher dois vetores quaisquer que sejam perpendiculares a r = (1,2,0) + s(3, -2, 0) + t(1, 0, -2) . Por exemplo, e . Assim, a equação vetorial fica:

Resposta

A equação vetorial do plano r = (1,2,0) + s,i + t,j é:
onde e são números reais.

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