Qual a posição relativa das seguintes rectas: r:ly=2 x-3 z=-x s:lx=1-3 k y=4-6 k z=3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a posição relativa das retas e no espaço tridimensional. Isso envolve entender se as retas são paralelas, se elas se cruzam (interseccionam) ou se são skew (não paralelas e nem se cruzam). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, trabalhando com vetores e sistemas paramétricos das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma que a gente possa comparar melhor. A reta y = 2x - 3 z = -x está dada por:
x = t y = 2t - 3 z = -t
Podemos parametrizar essa reta escolhendo uma variável livre, por exemplo, r: x y z = 0 -3 0 + t 1 2 -1 . Assim, expressamos 0 -3 0 e 1 2 -1 em função de :
Então, a reta pode ser escrita em forma paramétrica como:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s: x = 1 - 3k y = 4 - 6k z = 3k , que já está dada de forma paramétrica:
s: x y z = 1 4 0 + k -3 -6 3
Podemos reescrever isso em forma vetorial:
1 4 0
Aqui, -3 -6 3 é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta .

Passo 4

Para determinar a posição relativa das retas Vetor diretor de r: 1 2 -1 e Vetor diretor de s: -3 -6 3 , precisamos verificar três possibilidades:
  1. Paralelas: Se os vetores diretores são múltiplos um do outro.
  2. Intersectam: Se existe um ponto que pertence a ambas as retas.
  3. Skew: Se não são paralelas e não se intersectam.
Primeiro, vamos comparar os vetores diretores:
-3 -6 3
1 2 -1
Notamos que , ou seja, o vetor diretor de é múltiplo do vetor diretor de . Isso significa que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 5

Agora, para saber se as retas são realmente coincidentes (ou seja, se são a mesma reta) ou apenas paralelas, precisamos verificar se existe um ponto em comum.
Pegamos o ponto de 0 -3 0 , que é 0 = 1 - 3k -3 = 4 - 6k 0 = 3k , e vemos se ele pertence à reta x = 1 - 0 = 1 (não é igual a 0) y = 4 - 0 = 4 (não é igual a -3) . Para isso, substituímos nas equações de :
Resolvendo , temos . Substituindo nas outras equações:
ãéãé
Como não encontramos um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, as retas não coincidem. Portanto, elas são paralelas.

Resposta

As retas e são paralelas.

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