Determinar a distância entre os planos pi1: 2 x-2 y+z=0 e pi2: 4 x-4 y+2 z+14=0.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a distância entre dois planos no espaço. Os planos são:
pi1: 2x - 2y + z = 0
pi2: 4x - 4y + 2z + 14 = 0
Para resolver isso, vamos usar um método da geometria analítica que calcula a distância entre planos paralelos. Precisamos saber se os planos são paralelos e, se forem, aplicar a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os coeficientes de , e forem proporcionais. Olhando para os planos:
Para , os coeficientes são , , e .
Para , os coeficientes são , , e .
Vemos que tem os coeficientes exatamente o dobro dos de , ou seja, , , e . Isso mostra que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 entre dois planos e é:
Antes de aplicar a fórmula, precisamos ajustar a equação do segundo plano para ficar na mesma forma do primeiro.

Passo 4

Vamos reescrever o plano 4x - 4y + 2z + 142 = 0 Rightarrow 2x - 2y + z + 7 = 0 de forma que o coeficiente de , e sejam iguais aos do . Dividindo toda a equação de por :
Agora, está na forma , que corresponde a e tem .

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 = |7 - 0|raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 7raiz4 + 4 + 1 = 7raiz9 = 73

Resposta

A distância entre os dois planos é unidades.

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