Determinar a distância entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a distância entre dois planos no espaço. Os planos são:
Para resolver isso, vamos usar um método da geometria analítica que calcula a distância entre planos paralelos. Precisamos saber se os planos são paralelos e, se forem, aplicar a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os coeficientes de
,
e
forem proporcionais. Olhando para os planos:
Para
, os coeficientes são
,
, e
.
Para
, os coeficientes são
,
, e
.
Vemos que
tem os coeficientes exatamente o dobro dos de
, ou seja,
,
, e
. Isso mostra que os planos são paralelos.
Passo 3
Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância
entre dois planos
e
é:
Antes de aplicar a fórmula, precisamos ajustar a equação do segundo plano para ficar na mesma forma do primeiro.
Passo 4
Vamos reescrever o plano
de forma que o coeficiente de
,
e
sejam iguais aos do
. Dividindo toda a equação de
por
:
Agora,
está na forma
, que corresponde a
e
tem
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da distância:
Resposta
A distância entre os dois planos é
unidades.
Exercícios relacionados
Considere a recta r definida por:
. a) Determinar uma equação vectorial do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à recta r .
Compor as equações paramétricas do plano
que passa pelo ponto
e é paralelo aos vectores
e
.
Achar as coordenadas do vector normal do plano
dado por: a)