Determinar o ângulo formado pelas rectas: r1=x-31=y+2-1=zraiz2 e r2=x+21=y-31=z+5raiz2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o ângulo formado pelas duas retas dadas:
r1=x-31=y+2-1=zraiz2
r2=x+21=y-31=z+5raiz2
Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os vetores diretores dessas retas e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores diretores das retas. A forma simétrica das equações das retas nos permite identificar esses vetores diretamente.
Para r1, os denominadores dos termos da equação simétrica são os componentes do vetor diretor:
d1 = (1, -1, raiz2)
Para r2, de forma similar:
d2 = (1, 1, raiz2)

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = d1 cdot d2||d1|| , ||d2||
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores, e “ ||d||” denota o módulo (ou norma) do vetor.

Passo 4

Calculamos o produto escalar d1 cdot d2:
d1 cdot d2 = (1)(1) + (-1)(1) + (raiz2)(raiz2) = 1 - 1 + 2 = 2

Passo 5

Em seguida, calculamos os módulos dos vetores d1 e d2:
||d1|| = raiz1^2 + (-1)^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 1 + 2 = raiz4 = 2
||d2|| = raiz1^2 + 1^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 1 + 2 = raiz4 = 2

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 22 times 2 = 24 = 12

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos ( 12 ) = 60^circ

Resposta

O ângulo formado pelas retas r1 e r2 é de 60^circ.

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