Considere as rectas dadas por R1:=(x,y,z)=(t,t+1,t^2) e R2:(x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,1,-1).
(a) Determine a posição relativa entre elas.
(b) Caso as retas sejam paralelas, determine a distância entre elas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional definidas pelas equações paramétricas:
  • R₁:
  • R₂:
A matéria envolvida é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Para resolver a questão, vamos precisar entender como determinar a posição relativa entre duas retas e, se elas forem paralelas, calcular a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes do parâmetro nas equações paramétricas.
  • Para R₁, o vetor diretor é . No entanto, como varia, não é constante, o que indica que R₁ não é uma reta usual, mas sim uma curva. Isso nos leva a perceber que pode haver um erro na definição de R₁.
Vamos reconsiderar a equação de R₁. Se considerarmos que a equação está parametrizada corretamente para uma reta, o termo em sugere que a reta não é linear. Portanto, vamos assumir que houve um equívoco na formulaç��o da reta R₁ ou que estamos lidando com uma curva em vez de uma reta reta.
Porém, seguindo a interpretação original da questão, assumimos que R₁ é uma reta com equação paramétrica .

Passo 3

Vamos verificar se as duas retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os seus vetores diretores são múltiplos um do outro.
  • Vetor diretor de R₁:
  • Vetor diretor de R₂:
Para que e sejam paralelos, deve existir um escalar tal que .
No entanto, observamos que varia com , enquanto é constante. Portanto, os vetores diretores não são múltiplos um do outro para todos os valores de , o que indica que as retas R₁ e R₂ não são paralelas.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se as retas R₁ e R₂ se intersectam. Para isso, devemos encontrar se existe algum valor de t = 1 - t' t + 1 = 0 + t' t^2 = 0 - t' que satisfaça as equações das duas retas simultaneamente.
Igualando as componentes:
Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação: =>
  2. Substituindo na primeira equação: => => =>
  3. Então,
  4. Verificando na terceira equação: => (o que é falso)
Como não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente, as retas R₁ e R₂ não se intersectam.

Passo 5

Como as retas não são paralelas nem se intersectam, concluímos que elas são retas skew (retas oblíquas), ou seja, retas que não são coplanares e não se encontram no espaço.

Resposta

(a) As retas e são retas skew, ou seja, não são paralelas e não se intersectam.

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