Considere as retas
ll r: & (x, y, z)=(1,0,1)+t(-1,-2,0), t in R s: & (x, y, z)=(2,0,2)+t(-2,-4,-1), t in R
(a) Qual a posição relativa entre as retas r e s (paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas)?
(b) Determine o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, definidas por equações paramétricas:
ll r: & (x, y, z)=(1,0,1)+t(-1,-2,0), t in R s: & (x, y, z)=(2,0,2)+t(-2,-4,-1), t in R
Queremos descobrir:
(a) A posição relativa entre as retas e (se são paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas).
(b) O ângulo entre as retas e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores diretores de retas, condições de paralelismo, interseção e como calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica sua direção e é obtido a partir dos coeficientes de dr = (-1, -2, 0) na equação paramétrica.
Para a reta ds = (-2, -4, -1) :
Para a reta :

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas ds = k cdot dr e -2 = k cdot (-1) Rightarrow k = 2 são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são vetores colineares, ou seja, se um é múltiplo escalar do outro.
Vamos ver se existe um número -4 = k cdot (-2) Rightarrow k = 2 tal que:
-1 = k cdot 0 Rightarrow -1 = 0 (Incompatível)
Vamos comparar as componentes:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
í
Como a terceira componente não satisfaz a igualdade, os vetores não são colineares, ou seja, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes (isto é, se elas se intersectam em um único ponto).
Para isso, precisamos encontrar valores de (1, 0, 1) + t(-1, -2, 0) = (2, 0, 2) + s(-2, -4, -1) e 1 - t = 2 - 2s (x) 0 - 2t = 0 - 4s (y) 1 + 0t = 2 - s (z) tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação:
-2t = -4s Rightarrow t = 2s
Agora, substituímos 1 - 2s = 2 - 2s na primeira equação:
1 = 2 (Incompatível)
Simplificando:
í
Como chegamos a uma contradição, não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas não se intersectam.

Passo 6

Já que as retas não são paralelas e não se intersectam, elas são chamadas de retas reversas ou skew. Isso significa que elas não estão no mesmo plano e não se encontram em nenhum ponto.

Passo 7

Agora, vamos determinar o ângulo entre as retas costheta = a cdot b|a| , |b| e . O ângulo entre duas retas pode ser encontrado pelo ângulo entre seus vetores diretores.
A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
onde é o produto escalar e é o módulo do vetor .

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar dr cdot ds = (-1)(-2) + (-2)(-4) + (0)(-1) = 2 + 8 + 0 = 10 :
|dr| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |ds| = raiz(-2)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 16 + 1 = raiz21 e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, aplicamos os valores na fórmula do cosseno:
costheta = 10raiz5 cdot raiz21 = 10raiz105 approx 1010.24695 approx 0,9759
Para encontrar o ângulo theta = arccos(0,9759) approx 12,6^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

(a) As retas e são reversas.
(b) O ângulo entre as retas e é aproximadamente 12,6 graus.

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