(a) Qual a posição relativa entre as retas e (paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas)?
(b) Determine o ângulo entre as retas e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, definidas por equações paramétricas:
Queremos descobrir:
(a) A posição relativa entre as retas e (se são paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas).
(b) O ângulo entre as retas e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores diretores de retas, condições de paralelismo, interseção e como calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica sua direção e é obtido a partir dos coeficientes de na equação paramétrica.
Para a reta :
Para a reta :
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas e são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são vetores colineares, ou seja, se um é múltiplo escalar do outro.
Vamos ver se existe um número tal que:
Vamos comparar as componentes:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Como a terceira componente não satisfaz a igualdade, os vetores não são colineares, ou seja, as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes (isto é, se elas se intersectam em um único ponto).
Para isso, precisamos encontrar valores de e tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação:
-2t = -4s Rightarrow t = 2s
Agora, substituímos 1 - 2s = 2 - 2s na primeira equação:
1 = 2 (Incompatível)
Simplificando:
í
Como chegamos a uma contradição, não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas não se intersectam.
Passo 6
Já que as retas não são paralelas e não se intersectam, elas são chamadas de retas reversas ou skew. Isso significa que elas não estão no mesmo plano e não se encontram em nenhum ponto.
Passo 7
Agora, vamos determinar o ângulo entre as retas costheta = a cdot b|a| , |b| e . O ângulo entre duas retas pode ser encontrado pelo ângulo entre seus vetores diretores.