Considere uma rede com N fendas com uma distância d constante entre fendas adjacentes. As fendas emitem coerentemente e em fase ondas de comprimento de onda
. Verifique o resultado geral do item (d) para o caso
. Será útil lembrar que
. Explique por que seu resultado difere por um fator 4 da equação
, que fornece a expressão da intensidade na experiência de interferência em fenda dupla. (Dica:
é definido do mesmo modo nas duas expressões?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre interferência de ondas em uma rede de fendas. Temos N fendas separadas por uma distância constante d, emitindo ondas de comprimento de onda λ, todas de forma coerente e em fase. Nosso objetivo é verificar o resultado geral para o caso de N=2 fendas e entender por que o resultado que vamos obter difere por um fator de 4 da expressão clássica da intensidade na interferência de fenda dupla, que é $ I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) $. Para isso, vamos precisar usar a fórmula trigonométrica $ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando temos duas fendas (N=2) emitindo ondas coerentes. Quando as ondas provenientes das duas fendas se encontram, elas interferem de forma construtiva ou destrutiva dependendo da diferença de fase
entre elas. A intensidade resultante da interferência depende dessa diferença de fase.
Passo 3
Para calcular a intensidade resultante de duas ondas interferentes, usamos a seguinte expressão geral:
Como as duas fendas são iguais e em fase, temos $ I_{1} = I_{2} = I_{0} $. Substituindo na fórmula:
Agora, usando a identidade trigonométrica $ 1 + \cos \phi = 2 \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) $, temos:
Passo 4
Agora, comparando com a expressão clássica da intensidade na interferência de fenda dupla:
Vimos que, para N=2, a intensidade resultante é:
Passo 5
A diferença entre os dois resultados está no fator 4. Isso acontece porque, na expressão que derivamos para N=2, consideramos que cada fenda individual contribui com uma intensidade $ I_{0} $, e a interferência entre elas adiciona mais intensidade devido à coerência das ondas. Na expressão clássica $ I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) $, $ I_{0} $ geralmente representa a intensidade de cada fenda, mas a forma como é definido pode diferir. Se considerarmos que $ I_{0} $ na expressão clássica já engloba a contribuição das duas fendas, isso explica o fator de 4 na nossa expressão, já que $ 4I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) $ é quatro vezes a intensidade base $ I_{0} $ da expressão clássica.
Resposta
Para N=2 fendas, a intensidade resultante é $ I = 4I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) $, o que difere por um fator de 4 da expressão clássica $ I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) $ devido à forma como $ I_{0} $ está definido em cada caso.