Uma esfera condutora de raio A está no centro de uma casca esférica de raio B. Se ambas as esferas tem a mesma quantidade de carga total apenas com sinal invertido, calcule:
O potencial elétrico em todo o espaço a partir do campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos uma esfera condutora de raio $ A $ no centro de uma casca esférica de raio $ B $. Ambas têm a mesma quantidade de carga total, mas com sinais opostos. Precisamos calcular o potencial elétrico em todo o espaço a partir do campo elétrico.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente com a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, a partir dele, determinar o potencial elétrico.
O que vamos precisar:
  • Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em diferentes regiões.
  • Relação entre campo elétrico e potencial elétrico ($ V $).
  • Conceito de condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída nesse sistema. Temos uma esfera condutora no centro e uma casca esférica ao redor dela, também condutora, com cargas de sinais opostos e iguais em magnitude.
Distribuição de cargas:
  • A esfera interna tem carga $ +Q $.
  • A casca esférica tem carga $ -Q $.
Como a casca é condutora, as cargas vão se distribuir nas superfícies interna e externa dela. A carga na superfície interna da casca vai ser $ -Q $ para neutralizar a carga $ +Q $ da esfera interna. Isso significa que a superfície externa da casca não tem carga adicional, pois a carga total da casca é $ -Q $.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico ($ E $) em diferentes regiões:
  1. Dentro da esfera condutora ($ r < A $):
    • Como é condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero: E
  2. Entre a esfera e a casca ($ A < r < B $):
    • Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio $ r $: r < A Aqui, $ Q_{enc} = +Q $, então: E = 0 para r < A
  3. Fora da casca ($ r > B $):
    • A casca tem carga total $ -Q $, e a esfera tem $ +Q $, então a carga total do sistema é zero. Portanto, o campo elétrico fora é zero: A < r < B

Passo 4

Com o campo elétrico determinado, agora vamos calcular o potencial elétrico ($ V $). Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
V
Vamos definir o potencial no infinito ($ r \to \infty V(b) - V(a) = -integrala^b E cdot dl V(\infty) = 0 $).
Vamos calcular o potencial em diferentes regiões:
  1. Para $ r > B $:
    • Como $ E = 0 $, o potencial é o mesmo em toda essa região, e como $ V(\infty) = 0 $, então: r to infty
  2. Para $ A < r < B $:
    • Integrando o campo elétrico: V(infty) = 0 Sabemos que $ V(B) = 0 $, então: r > B
  3. Para $ r < A $:
    • Dentro da esfera condutora, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície interna da esfera ($ r = A $): E = 0

Resposta

O potencial elétrico em todo o espaço é dado por:
V(r) = Q4pi varepsilon0 A & para r < A Q4pi varepsilon0 r & para A <= r <= B 0 & para r > B

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