Uma esfera condutora de raio A está no centro de uma casca esférica de raio B. Se ambas as esferas tem a mesma quantidade de carga total apenas com sinal invertido, calcule:
O potencial elétrico em todo o espaço a partir do campo elétrico.
O potencial elétrico em todo o espaço a partir do campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos uma esfera condutora de raio $ A $ no centro de uma casca esférica de raio $ B $. Ambas têm a mesma quantidade de carga total, mas com sinais opostos. Precisamos calcular o potencial elétrico em todo o espaço a partir do campo elétrico.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente com a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, a partir dele, determinar o potencial elétrico.
O que vamos precisar:
- Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em diferentes regiões.
- Relação entre campo elétrico e potencial elétrico ($ V $).
- Conceito de condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída nesse sistema. Temos uma esfera condutora no centro e uma casca esférica ao redor dela, também condutora, com cargas de sinais opostos e iguais em magnitude.
Distribuição de cargas:
- A esfera interna tem carga $ +Q $.
- A casca esférica tem carga $ -Q $.
Como a casca é condutora, as cargas vão se distribuir nas superfícies interna e externa dela. A carga na superfície interna da casca vai ser $ -Q $ para neutralizar a carga $ +Q $ da esfera interna. Isso significa que a superfície externa da casca não tem carga adicional, pois a carga total da casca é $ -Q $.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico ($ E $) em diferentes regiões:
-
Dentro da esfera condutora ($ r < A $):
- Como é condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero:
- Como é condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero:
-
Entre a esfera e a casca ($ A < r < B $):
- Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio $ r $:
Aqui, $ Q_{enc} = +Q $, então:
- Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio $ r $:
-
Fora da casca ($ r > B $):
- A casca tem carga total $ -Q $, e a esfera tem $ +Q $, então a carga total do sistema é zero. Portanto, o campo elétrico fora é zero:
- A casca tem carga total $ -Q $, e a esfera tem $ +Q $, então a carga total do sistema é zero. Portanto, o campo elétrico fora é zero:
Passo 4
Com o campo elétrico determinado, agora vamos calcular o potencial elétrico ($ V $). Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Vamos definir o potencial no infinito ($ r \to \infty
V(\infty) = 0 $).
Vamos calcular o potencial em diferentes regiões:
-
Para $ r > B $:
- Como $ E = 0 $, o potencial é o mesmo em toda essa região, e como $ V(\infty) = 0 $, então:
- Como $ E = 0 $, o potencial é o mesmo em toda essa região, e como $ V(\infty) = 0 $, então:
-
Para $ A < r < B $:
- Integrando o campo elétrico:
Sabemos que $ V(B) = 0 $, então:
- Integrando o campo elétrico:
-
Para $ r < A $:
- Dentro da esfera condutora, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície interna da esfera ($ r = A $):
- Dentro da esfera condutora, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície interna da esfera ($ r = A $):
Resposta
O potencial elétrico em todo o espaço é dado por: