Considere uma região anular entre dois tubos concêntricos na qual os diâmetros interno e externo são de Di=25 mm e De=50 mm. Água entra na região anular a dotm=0.04 kg / s e T ent =2^circ C. Se a parede do tubo interno for aquecida eletricamente a uma taxa de q^prime=4000 W / m, enquanto a parede do tubo externo é termicamente isolada, qual deve ser o comprimento dos tubos para que a água atinja uma temperatura de T sai =85^circ C na saída? Qual o coeficiente de transferência de calor (barh) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região entre dois tubos que são concentrados um no outro. O diâmetro interno do tubo é de $ D_i = 25 , mm $ e o externo é $ D_e = 50 , mm $. A água entra nessa região com uma taxa de fluxo de massa de $ \dot{m} = 0,04 , kg/s $ e temperatura de entrada $ T_{ent} = 2^\circ C $. A parede do tubo interno está sendo aquecida a uma taxa de $ q’ = 4000 , W/m^2 $ e a externa está isolada termicamente. Nosso objetivo é descobrir quanto de comprimento os tubos precisam ter para que a água saia com $ T_{sai} = 85^\circ C $ e qual é o coeficiente de transferência de calor $ \bar{h} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. Queremos saber o comprimento necessário dos tubos para que a água aumente sua temperatura de $ 2^\circ C $ para $ 85^\circ C $. Para isso, precisamos calcular a quantidade de calor que a água vai absorver e relacionar com a taxa de transferência de calor na parede do tubo.

Passo 3

Vamos calcular a variação de energia da água. A quantidade de calor $ Q $ necessária para aumentar a temperatura da água é dada por:
Q
Onde:
  • $ \dot{m} = 0,04 , kg/s $ é a taxa de fluxo de massa.
  • $ c_p $ é a capacidade térmica da água (aproximadamente $ 4186 , J/(kg·°C) $).
  • $ \Delta T = T_{sai} - T_{ent} = 85 - 2 = 83^\circ C $.

Passo 4

Vamos calcular $ Q $:
Q
Então, a água precisa absorver aproximadamente $ 13.932 , W $ de calor.

Passo 5

Agora, vamos relacionar esse calor com a transferência de calor na parede do tubo interno. A taxa de transferência de calor $ Q $ também pode ser expressa por:
Q
Onde $ A $ é a área de transferência de calor. Como a parede está sendo aquecida ao longo de um comprimento $ L $, a área $ A $ é:
Q = q' cdot A
Substituindo:
A

Passo 6

Vamos igualar as duas expressões para $ Q $:
Q
Queremos encontrar $ L $, então rearranjamos a equação:
dotm cdot cp cdot De

Passo 7

Substituindo os valores:
L = 0,04 , kg/s times 4186 , J/(kg·°C) times 83^circ C4000 , W/m^2 times pi times 0,025 , m
Calculando o numerador:
0,04 times 4186 times 83 approx 13.932 , W
E o denominador:
4000 times pi times 0,025 approx 314,16 , W/m

Passo 8

Agora, dividindo:
L = 13.932314,16 approx 44,39 , m
Então, o comprimento necessário dos tubos é aproximadamente $ 44,4 , metros $.

Passo 9

Para encontrar o coeficiente de transferência de calor $ \bar{h} $, usamos a relação entre a taxa de transferência de calor e o gradiente de temperatura. Sabemos que:
barh
Como estamos considerando um processo a fluxo constante e temperatura aumentada linearmente, podemos simplificar utilizando $ \Delta T_{lm} \approx \Delta T $.
Rearranjando para $ \bar{h} $:
Q = barh cdot A cdot De

Passo 10

Calculando $ A $ novamente:
A
Então:
A = pi Di cdot L = pi times 0,025 , m times 44,4 , m approx 3,49 , m^2

Resposta

O comprimento dos tubos deve ser aproximadamente $ 44,4 , metros $ e o coeficiente de transferência de calor $ \bar{h} $ é de cerca de $ 48,1 , W/(m^2·°C) $.

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