Considere uma região anular entre dois tubos concêntricos na qual os diâmetros interno e externo são de e . Água entra na região anular a e . Se a parede do tubo interno for aquecida eletricamente a uma taxa de , enquanto a parede do tubo externo é termicamente isolada, qual deve ser o comprimento dos tubos para que a água atinja uma temperatura de na saída? Qual o coeficiente de transferência de calor ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região entre dois tubos que são concentrados um no outro. O diâmetro interno do tubo é de $ D_i = 25 , mm $ e o externo é $ D_e = 50 , mm $. A água entra nessa região com uma taxa de fluxo de massa de $ \dot{m} = 0,04 , kg/s $ e temperatura de entrada $ T_{ent} = 2^\circ C $. A parede do tubo interno está sendo aquecida a uma taxa de $ q’ = 4000 , W/m^2 $ e a externa está isolada termicamente. Nosso objetivo é descobrir quanto de comprimento os tubos precisam ter para que a água saia com $ T_{sai} = 85^\circ C $ e qual é o coeficiente de transferência de calor $ \bar{h} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. Queremos saber o comprimento necessário dos tubos para que a água aumente sua temperatura de $ 2^\circ C $ para $ 85^\circ C $. Para isso, precisamos calcular a quantidade de calor que a água vai absorver e relacionar com a taxa de transferência de calor na parede do tubo.

Passo 3

Vamos calcular a variação de energia da água. A quantidade de calor $ Q $ necessária para aumentar a temperatura da água é dada por:
Onde:
  • $ \dot{m} = 0,04 , kg/s $ é a taxa de fluxo de massa.
  • $ c_p $ é a capacidade térmica da água (aproximadamente $ 4186 , J/(kg·°C) $).
  • $ \Delta T = T_{sai} - T_{ent} = 85 - 2 = 83^\circ C $.

Passo 4

Vamos calcular $ Q $:
Então, a água precisa absorver aproximadamente $ 13.932 , W $ de calor.

Passo 5

Agora, vamos relacionar esse calor com a transferência de calor na parede do tubo interno. A taxa de transferência de calor $ Q $ também pode ser expressa por:
Onde $ A $ é a área de transferência de calor. Como a parede está sendo aquecida ao longo de um comprimento $ L $, a área $ A $ é:
Substituindo:

Passo 6

Vamos igualar as duas expressões para $ Q $:
Queremos encontrar $ L $, então rearranjamos a equação:

Passo 7

Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
E o denominador:

Passo 8

Agora, dividindo:
Então, o comprimento necessário dos tubos é aproximadamente $ 44,4 , metros $.

Passo 9

Para encontrar o coeficiente de transferência de calor $ \bar{h} $, usamos a relação entre a taxa de transferência de calor e o gradiente de temperatura. Sabemos que:
Como estamos considerando um processo a fluxo constante e temperatura aumentada linearmente, podemos simplificar utilizando $ \Delta T_{lm} \approx \Delta T $.
Rearranjando para $ \bar{h} $:

Passo 10

Calculando $ A $ novamente:
Então:

Resposta

O comprimento dos tubos deve ser aproximadamente $ 44,4 , metros $ e o coeficiente de transferência de calor $ \bar{h} $ é de cerca de $ 48,1 , W/(m^2·°C) $.

Exercícios relacionados

Óleo de motor escoa a uma taxa de através de um tubo com diâmetro de . O óleo entra na tubulação com uma temperatura de , enquanto a superfície do tubo está a uma temperatura de .
(a) Para um tubo com um comprimento de , determine se o escoamento é desenvolvido:
Óleo de motor escoa a uma taxa de através de um tubo com diâmetro de . O óleo entra na tubulação com uma temperatura de , enquanto a superfície do tubo está a uma temperatura de .
(b) Calcule o coeficiente de transferência de calor :
Um fluido se desloca no sentido se , em um bocal convergente com , com perfil de velocidade dado por á e sai com perfil , após uma redução para . Determine .