Um fluido se desloca no sentido se
, em um bocal convergente com
, com perfil de velocidade dado por
e sai com perfil
, após uma redução para
. Determine a forca no fluido na parte convergente do bocal.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos um fluido que flui em um bocal convergente, ou seja, a área de passagem diminui de
para
. A velocidade do fluido na entrada do bocal é dada por uma função que depende da posição radial
, especificamente:
O exercício quer que a gente determine a força exercida no fluido na parte convergente do bocal. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente a lei da quantidade de movimento para fluidos em regime estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a força que o bocal exerce no fluido está relacionada à mudança na quantidade de movimento do fluido ao passar pela região convergente. A força pode ser calculada usando a seguinte expressão:
Onde:
-
é a força; -
é a taxa de fluxo de massa; -
é a velocidade do fluido na entrada; -
é a velocidade do fluido na saída.
Passo 3
Vamos calcular a taxa de fluxo de massa
. Para isso, precisamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal do bocal. A área em função de
é:
Então, a taxa de fluxo de massa é:
Aqui,
é a densidade do fluido.
Passo 4
Substituindo
na integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Distribuindo
dentro da integral:
Calculando cada uma das integrais:
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais de volta:
Simplificando os termos:
Então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a diferença de velocidades
. Na saída do bocal, com
, supondo que todo o fluido sai na velocidade
, ou seja,
.
Então:
Mas na posição de saída, estamos considerando a velocidade média, que simplifica para
.
Passo 8
Substituindo
e a diferença de velocidade na expressão da força:
Resposta
A força exercida no fluido na parte convergente do bocal é:
Exercícios relacionados
Considere uma região anular entre dois tubos concêntricos na qual os diâmetros interno e externo são de
e
. Água entra na região anular a
e
. Se a parede do tubo interno for aquecida eletricamente a uma taxa de
, enquanto a parede do tubo externo é termicamente isolada, qual deve ser o comprimento dos tubos para que a água atinja uma temperatura de
na saída? Qual o coeficiente de transferência de calor
?
Óleo de motor escoa a uma taxa de
através de um tubo com diâmetro de
. O óleo entra na tubulação com uma temperatura de
, enquanto a superfície do tubo está a uma temperatura de
.
(a) Para um tubo com um comprimento de , determine se o escoamento é desenvolvido:
(a) Para um tubo com um comprimento de
Um fluido se desloca no sentido se
, em um bocal convergente com
, com perfil de velocidade dado por
e sai com perfil
, após uma redução para
. Determine
.