Um fluido se desloca no sentido se , em um bocal convergente com , com perfil de velocidade dado por á e sai com perfil , após uma redução para . Determine a forca no fluido na parte convergente do bocal.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos um fluido que flui em um bocal convergente, ou seja, a área de passagem diminui de para . A velocidade do fluido na entrada do bocal é dada por uma função que depende da posição radial , especificamente:
á
O exercício quer que a gente determine a força exercida no fluido na parte convergente do bocal. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente a lei da quantidade de movimento para fluidos em regime estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força que o bocal exerce no fluido está relacionada à mudança na quantidade de movimento do fluido ao passar pela região convergente. A força pode ser calculada usando a seguinte expressão:
Onde:
  • é a força;
  • é a taxa de fluxo de massa;
  • é a velocidade do fluido na entrada;
  • é a velocidade do fluido na saída.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de fluxo de massa . Para isso, precisamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal do bocal. A área em função de é:
Então, a taxa de fluxo de massa é:
Aqui, é a densidade do fluido.

Passo 4

Substituindo na integral:
á
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Distribuindo á dentro da integral:
á
Calculando cada uma das integrais:

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais de volta:
á
Simplificando os termos:
ááá
Então:
á

Passo 7

Agora, vamos encontrar a diferença de velocidades . Na saída do bocal, com , supondo que todo o fluido sai na velocidade á, ou seja, á.
Então:
á
Mas na posição de saída, estamos considerando a velocidade média, que simplifica para á.

Passo 8

Substituindo e a diferença de velocidade na expressão da força:
ááá

Resposta

A força exercida no fluido na parte convergente do bocal é:
á

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Óleo de motor escoa a uma taxa de através de um tubo com diâmetro de . O óleo entra na tubulação com uma temperatura de , enquanto a superfície do tubo está a uma temperatura de .
(a) Para um tubo com um comprimento de , determine se o escoamento é desenvolvido:
Um fluido se desloca no sentido se , em um bocal convergente com , com perfil de velocidade dado por á e sai com perfil , após uma redução para . Determine .