Um fluido se desloca no sentido se x, em um bocal convergente com R1=2 cm, com perfil de velocidade dado por u1(r)=U máx [1-r^1 / 2R1^1 / 2]á e sai com perfil u2(r), após uma redução para R2=1 cm. Determine a forca no fluido na parte convergente do bocal.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos um fluido que flui em um bocal convergente, ou seja, a área de passagem diminui de R1 = 2 cm para R2 = 1 cm. A velocidade do fluido na entrada do bocal é dada por uma função que depende da posição radial r, especificamente:
u1(r) = Umáx [1 - raizrraizR1] á
O exercício quer que a gente determine a força exercida no fluido na parte convergente do bocal. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente a lei da quantidade de movimento para fluidos em regime estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força que o bocal exerce no fluido está relacionada à mudança na quantidade de movimento do fluido ao passar pela região convergente. A força pode ser calculada usando a seguinte expressão:
F = dotm cdot (u2 - u1)
Onde:
  • F é a força;
  • dotm é a taxa de fluxo de massa;
  • u1 é a velocidade do fluido na entrada;
  • u2 é a velocidade do fluido na saída.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de fluxo de massa dotm. Para isso, precisamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal do bocal. A área em função de r é:
dA = 2pi r , dr
Então, a taxa de fluxo de massa é:
dotm = rho integral0^R1 u1(r) cdot 2pi r , dr
Aqui, rho é a densidade do fluido.

Passo 4

Substituindo u1(r) na integral:
dotm = rho cdot 2pi integral0^R1 [Umáx (1 - raizrraizR1)] r , dr á
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Distribuindo Umáxá dentro da integral:
dotm = rho cdot 2pi Umáx [ integral0^R1 r , dr - 1raizR1 integral0^R1 r^3/2 , dr ] á
Calculando cada uma das integrais:
  1. integral0^R1 r , dr = R1^22
  2. integral0^R1 r^3/2 , dr = 25 R1^5/2

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais de volta:
dotm = rho cdot 2pi Umáx [ R1^22 - 1raizR1 cdot 25 R1^5/2 ] á
Simplificando os termos:
dotm = rho cdot 2pi Umáx [ R1^22 - 25 R1^2 ] = rho cdot 2pi Umáx ( 510 - 410 ) R1^2 = rho cdot 2pi Umáx cdot 110 R1^2 ááá
Então:
dotm = rho cdot pi Umáx R1^25 á

Passo 7

Agora, vamos encontrar a diferença de velocidades (u2 - u1). Na saída do bocal, com R2 = 1 cm, supondo que todo o fluido sai na velocidade Umáxá, ou seja, u2 = Umáxá.
Então:
u2 - u1 = Umáx - u1 á
Mas na posição de saída, estamos considerando a velocidade média, que simplifica para Umáxá.

Passo 8

Substituindo dotm e a diferença de velocidade na expressão da força:
F = rho cdot pi Umáx R1^25 cdot Umáx = rho cdot pi Umáx^2 R1^25 ááá

Resposta

A força exercida no fluido na parte convergente do bocal é:
F = rho cdot pi Umáx^2 R1^25 á

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